Đặt $x=a+b-c$,$y=b+c-a$,$z=c+a-b$ Có $x+y+z=a+b+c=2p=6$Từ đó có $2a=x+z;2b=x+y;2c=z+y$$\Rightarrow \frac{3}{2}P=\frac{x^3}{z+x}+\frac{y^3}{x+y}+\frac{z^3}{z+y}$Có $\frac{x^3}{z+x}+\frac{x(x+z)}{4}\geq x^2$Tương tự rồi cộng lại được:$\frac{3}{2}P\geq \frac{3}{4}(x^2+y^2+z^2)-\frac{1}{4}(xy+yz+xz)$Do $x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+xz\Rightarrow \frac{3}{2}P\geq \frac{1}{2}(x^2+y^2+z^2)$Mà $(x^2+y^2+z^2)\geq \frac{(x+y+z)^2}{3}=12\Rightarrow \frac{3}{2}P\geq6\Rightarrow Min P=4$Dấu = xảy ra khi $x=y=z=2$\Rightarrow a=b=c=2$

Đặt $x=a+b-c$,$y=b+c-a$,$z=c+a-b$ Có $x+y+z=a+b+c=2p=6$Từ đó có $2a=x+z;2b=x+y;2c=z+y$$\Rightarrow \frac{3}{2}P=\frac{x^3}{z+x}+\frac{y^3}{x+y}+\frac{z^3}{z+y}$Có $\frac{x^3}{z+x}+\frac{x(x+z)}{4}\geq x^2$Tương tự rồi cộng lại được:$\frac{3}{2}P\geq \frac{3}{4}(x^2+y^2+z^2)-\frac{1}{4}(xy+yz+xz)$Do $x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+xz\Rightarrow \frac{3}{2}P\geq \frac{1}{2}(x^2+y^2+z^2)$Mà $(x^2+y^2+z^2)\geq \frac{(x+y+z)^2}{3}=12\Rightarrow \frac{3}{2}P\geq6\Rightarrow Min P=4$Dấu = xảy ra khi $x=y=z=2\Rightarrow a=b=c=2$

Áp dụng bất đẳng thức CBS ta được:$A^2=(\sqrt{a}.\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{1+a^2}}+...+\sqrt{c}.\frac{\sqrt{c}}{1+c^2})^2\leq (a+b+c).(\frac{a}{1+a^2}+...+\frac{c}{1+c^2})$Bây giờ ta xét : B=$\frac{a}{1+a^2}+\frac{b}{1+b^2}+\frac{c}{1+c^2}$Ta có BĐT sau đây:$\frac{a}{1+a^2}\leq \frac{3}{8}a+\frac{\sqrt{3}}{8}$Chứng minh chỉ cần quy đồng ta được:$3a^3+\sqrt{3}a^2-5a+\sqrt{3}\geq0$$\Leftrightarrow (3a+\sqrt{3})(a-\frac{\sqrt{3}}{2})^2\geq 0$(Đúng với mọi a>0)Dấu =xảy ra khi $a=\frac{\sqrt{3}}{3}$.Tương tự rồi cộng lại ta được $B\leq \frac{3}{8}(a+b+c)+\frac{3\sqrt{3}}{8}\leq\frac{3\sqrt{3}}{4}$.(Do $a+b+c\leq \sqrt{3}$)Từ đó $A^2\leq \frac{9}{4}\Rightarrow Q.E.D.C$

Áp dụng bất đẳng thức CBS ta được:$A^2=(\sqrt{a}.\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{1+a^2}}+...+\sqrt{c}.\frac{\sqrt{c}}{1+c^2})^2\leq (a+b+c).(\frac{a}{1+a^2}+...+\frac{c}{1+c^2})$Bây giờ ta xét : B=$\frac{a}{1+a^2}+\frac{b}{1+b^2}+\frac{c}{1+c^2}$Ta có BĐT sau đây:$\frac{a}{1+a^2}\leq \frac{3}{8}a+\frac{\sqrt{3}}{8}$Chứng minh chỉ cần quy đồng ta được:$3a^3+\sqrt{3}a^2-5a+\sqrt{3}\geq0$$\Leftrightarrow (3a+3\sqrt{3})(a-\frac{\sqrt{3}}{3})^2\geq 0$(Đúng với mọi a>0)Dấu =xảy ra khi $a=\frac{\sqrt{3}}{3}$.Tương tự rồi cộng lại ta được $B\leq \frac{3}{8}(a+b+c)+\frac{3\sqrt{3}}{8}\leq\frac{3\sqrt{3}}{4}$.(Do $a+b+c\leq \sqrt{3}$)Từ đó $A^2\leq \frac{9}{4}\Rightarrow Q.E.D.C$

ĐK: $0\leq x \leq1$Với ĐK trên PT $\Leftrightarrow \sqrt{x}.(13\sqrt{1-x}+9\sqrt{1+x})=16$$\Leftrightarrow x.(13\sqrt{1-x}+9\sqrt{1+x})^2=16^2$Áp dụng BĐT CBS ta được:$(13\sqrt{1-x}+9\sqrt{1+x})^2=(\sqrt{13}.\sqrt{13}.\sqrt{1-x}+3\sqrt{3}.\sqrt{3}.\sqrt{1+x})^2=256\leq (13+27)[13(1-x)+3(1+x)]=40(16-x)$Từ đó có $VT \leq x.40.(16-10x)=4.10x.(16-10x)$Theo Cosi 2 số dương thì $10x.(26-10x)\leq[\frac{10x+16-10x^2}{2}]^2=64$Do đó $VT\leq 4.64=256$Dấu = xảy ra khi \begin{cases}\sqrt{1-x}= \frac{\sqrt{1+x}}{3}\\ 10x=16-10x \end{cases}Từ đó dc $x=\frac{4}{5}$

ĐK: $0\leq x \leq1$Với ĐK trên PT $\Leftrightarrow \sqrt{x}.(13\sqrt{1-x}+9\sqrt{1+x})=16$$\Leftrightarrow x.(13\sqrt{1-x}+9\sqrt{1+x})^2=16^2$Áp dụng BĐT CBS ta được:$(13\sqrt{1-x}+9\sqrt{1+x})^2=(\sqrt{13}.\sqrt{13}.\sqrt{1-x}+3\sqrt{3}.\sqrt{3}.\sqrt{1+x})^2=256\leq (13+27)[13(1-x)+3(1+x)]=40(16-x)$Từ đó có $VT \leq x.40.(16-10x)=4.10x.(16-10x)$Theo Cosi 2 số dương thì $10x.(26-10x)\leq[\frac{10x+16-10x}{2}]^2=64$Do đó $VT\leq 4.64=256$Dấu = xảy ra khi \begin{cases}\sqrt{1-x}= \frac{\sqrt{1+x}}{3}\\ 10x=16-10x \end{cases}Từ đó dc $x=\frac{4}{5}$

ĐK: $-1\leq x \leq1$Với ĐK trên PT $\Leftrightarrow \left| {x} \right|.(13\sqrt{1-x^2}+9\sqrt{1+x^2})=16$$\Leftrightarrow x^2.(13\sqrt{1-x^2}+9\sqrt{1+x^2})^2=16^2$Áp dụng BĐT CBS ta được:$(13\sqrt{1-x^2}+9\sqrt{1+x^2})^2=(\sqrt{13}.\sqrt{13}.\sqrt{1-x^2}+3\sqrt{3}.\sqrt{3}.\sqrt{1+x^2})^2=256\leq (13+27)[13(1-x^2)+3(1+x^2)]=40(16-x^2)$Từ đó có $VT \leq x^2.40.(16-10x^2)=4.10x^2.(16-10x^2)$Theo Cosi 2 số dương thì $10x^2.(26-10x^2)\leq[\frac{10x^2+16-10x^2}{2}]^2=64$Do đó $VT\leq 4.64=256$Dấu = xảy ra khi \begin{cases}\sqrt{1-x^2}= \frac{\sqrt{1+x^2}}{3}\\ 10x^2=16-10x^2 \end{cases}Từ đó dc $x=\pm \frac{2\sqrt{5}}{5}$

ĐK: $0\leq x \leq1$Với ĐK trên PT $\Leftrightarrow \sqrt{x}.(13\sqrt{1-x}+9\sqrt{1+x})=16$$\Leftrightarrow x.(13\sqrt{1-x}+9\sqrt{1+x})^2=16^2$Áp dụng BĐT CBS ta được:$(13\sqrt{1-x}+9\sqrt{1+x})^2=(\sqrt{13}.\sqrt{13}.\sqrt{1-x}+3\sqrt{3}.\sqrt{3}.\sqrt{1+x})^2=256\leq (13+27)[13(1-x)+3(1+x)]=40(16-x)$Từ đó có $VT \leq x.40.(16-10x)=4.10x.(16-10x)$Theo Cosi 2 số dương thì $10x.(26-10x)\leq[\frac{10x+16-10x^2}{2}]^2=64$Do đó $VT\leq 4.64=256$Dấu = xảy ra khi \begin{cases}\sqrt{1-x}= \frac{\sqrt{1+x}}{3}\\ 10x=16-10x \end{cases}Từ đó dc $x=\frac{4}{5}$

Làm đến đoạn B,O,K thẳng hàng anh có thể làm tn cho đỡ phức tạpXét tam giác BHc vuông có $BH^2=BE.BC \Rightarrow 2R^2=BE.BC,BC=2R.sinA=2R.sin KEB \Rightarrow R=BE.sin A$Mà $BE.sin A=BK \Rightarrow BE=R=BO$ mà B,O,K thẳng hàng nên ta có đpcm

Làm đến đoạn B,O,K thẳng hàng anh có thể làm tn cho đỡ phức tạpXét tam giác BHC vuông có $BH^2=BE.BC \Rightarrow 2R^2=BE.BC,BC=2R.sinA=2R.sin KEB \Rightarrow R=BE.sin A$Mà $BE.sin A=BK \Rightarrow BE=R=BO$ mà B,O,K thẳng hàng nên ta có đpcm

Câu 1:$PT\Leftrightarrow \frac{2sin x}{sin 2x}+\frac{1}{sin 2x}=\frac{1}{sin 2x.cos 2x}$ (sin 2x kahcs 0,cos 2x khác 0)$\Leftrightarrow (2sin x+1).cos 2x=1$$\Leftrightarrow 2sin x.cos 2x+cos 2x=sin^2 x+cos^2 x$$\Leftrightarrow sin x(2cos 2x-sin x)+cos^2 x-1=0$$\Leftrightarrow sin x(2cos 2x-sin x)-sin^2 x=0$$\Leftrightarrow sin x(2cos 2x-2sin x)=0$$\Leftrightarrow sin x(-4sin^2 x-2sin x+2)=0$

Câu 1:$PT\Leftrightarrow \frac{2sin x}{sin 2x}+\frac{1}{sin 2x}=\frac{1}{sin 2x.cos 2x}$ (sin 2x khác 0,cos 2x khác 0)$\Leftrightarrow (2sin x+1).cos 2x=1$$\Leftrightarrow 2sin x.cos 2x+cos 2x=sin^2 x+cos^2 x$$\Leftrightarrow sin x(2cos 2x-sin x)+cos^2 x-1=0$$\Leftrightarrow sin x(2cos 2x-sin x)-sin^2 x=0$$\Leftrightarrow sin x(2cos 2x-2sin x)=0$$\Leftrightarrow sin x(-4sin^2 x-2sin x+2)=0$

Câu 6 đề là như sau nhé:Cho $0\leq a,c,b\leq 2$ $a+b+c=3$,cm:$a^3+b^3+c^3\leq3$Ta sẽ cm bất đẳng thức sau $(a+b+c)^3\geq a^3+b^3+c^3+24abc$Khai triển ta được bất đẳng thức tương đương sau:$(a+b)(ab+bc+ca+c^2)\geq 8abc$$\Leftrightarrow a^2b+a^2c+ac^2+ab^2+b^2c+bc^2-6abc\geq 0$$\Leftrightarrow (a^2b+b^c-2abc)+(a^2c+b^2c-2abc)+(ac^2+ab^2-2abc)\geq 0$$\Leftrightarrow b(a-c)^2+c(a-b)^2+a(b-c)^2\geq 0$(đúng với a,b,c đã cho))Từ đó $27-24abc\geq a^3+b^3+c^3$ Mà $a+b+c=3\geq3\sqrt[3]{abc}$ nên $abc\leq1\Rightarrow-24abc\geq-24$Từ đó ta có đpcm

Câu 6 đề là như sau nhé:Cho $0\leq a,c,b\leq 2$ $a+b+c=3$,cm:$a^3+b^3+c^3\leq3$Ta sẽ cm bất đẳng thức sau $(a+b+c)^3\geq a^3+b^3+c^3+24abc$Khai triển ta được bất đẳng thức tương đương sau:$(a+b)(ab+bc+ca+c^2)\geq 8abc$$\Leftrightarrow a^2b+a^2c+ac^2+ab^2+b^2c+bc^2-6abc\geq 0$$\Leftrightarrow (a^2b+bc^2-2abc)+(a^2c+b^2c-2abc)+(ac^2+ab^2-2abc)\geq 0$$\Leftrightarrow b(a-c)^2+c(a-b)^2+a(b-c)^2\geq 0$(đúng với a,b,c đã cho))Từ đó $27-24abc\geq a^3+b^3+c^3$ Mà $a+b+c=3\geq3\sqrt[3]{abc}$ nên $abc\leq1\Rightarrow-24abc\geq-24$Từ đó ta có đpcm

Điều Kiện: $-12\leq x\leq4$$PT\Leftrightarrow (x+3)\sqrt{(4-x)(12+x)}=28-x$$\Rightarrow (x+3)^2(4-x)(12+x)=(28-x)^3$Khai triển và rút gọn ta được :$x^4+14x^3+10x^2-272x+352=0$Sử dụng phương pháp hệ số bất định ta phân tích được thành$(x^2+6x-22)(x^2+8x-16)=0$Phương trình này có 4 nghiệm nhưng do biến đổi không tương đương nên thử lại nghiệm thì pt có 2 nnghiem là $x=4(\sqrt{2}-1)$;$x=\sqrt{31}-3$PT⇔(x+3)(4−x)(12+x)−−−−−−−−−−−−√=28−x

Điều Kiện: $-12\leq x\leq4$$PT\Leftrightarrow (x+3)\sqrt{(4-x)(12+x)}=28-x$$\Rightarrow (x+3)^2(4-x)(12+x)=(28-x)^3$Khai triển và rút gọn ta được :$x^4+14x^3+10x^2-272x+352=0$Sử dụng phương pháp hệ số bất định ta phân tích được thành$(x^2+6x-22)(x^2+8x-16)=0$Phương trình này có 4 nghiệm nhưng do biến đổi không tương đương nên thử lại nghiệm thì pt có 2 nghiệm là $x=4(\sqrt{2}-1)$;$x=\sqrt{31}-3$PT⇔(x+3)(4−x)(12+x)−−−−−−−−−−−−√=28−xx4+14x3+10x2−272x+352=0

Điều Kiện: −12≤x≤4 ⇔(x+3)2.(4−x)(12+x)=(28−x)2⇔x4+14x3+10x2−272x+352=0⇔(x2+6x−22).(x2+8x−16)=0(sử dụng phương pháp hệ số bất định) ⇒[x=−3±31−−√x=−4±42√

Điều Kiện: $-12\leq x\leq4$$PT\Leftrightarrow (x+3)\sqrt{(4-x)(12+x)}=28-x$$\Rightarrow (x+3)^2(4-x)(12+x)=(28-x)^3$Khai triển và rút gọn ta được :$x^4+14x^3+10x^2-272x+352=0$Sử dụng phương pháp hệ số bất định ta phân tích được thành$(x^2+6x-22)(x^2+8x-16)=0$Phương trình này có 4 nghiệm nhưng do biến đổi không tương đương nên thử lại nghiệm thì pt có 2 nnghiem là $x=4(\sqrt{2}-1)$;$x=\sqrt{31}-3$PT⇔(x+3)(4−x)(12+x)−−−−−−−−−−−−√=28−x

1.Xét $k=0$ thì x=$\frac{1}{2}$ vậy $k=0$ là 1 giá trị cần tìm.Xét $k\neq 0$ điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt hoặc kép đều âm hay bằng 0 là:$\Delta =4(k+1)^2-4k(k+1)\geq 0\Leftrightarrow k\geq -1$ và $k(k+1)\geq 0,\frac{2(k+1)}{k}<0$Ta thấy hệ này vô nghiệm nên pt đã cho hoặc có nghiệm trái dấu hoặc có nghiêm dương với mọi mKL:.............................

1.Xét $k=0$ thì x=$\frac{1}{2}$ vậy $k=0$ là 1 giá trị cần tìm.Xét $k\neq 0$ điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt hoặc kép đều âm hay bằng 0 là:$\Delta =4(k+1)^2-4k(k+1)\geq 0\Leftrightarrow k\geq -1$ và $k(k+1)\geq 0,\frac{2(k+1)}{k}<0$Ta thấy hệ này vô nghiệm nên pt đã cho hoặc có nghiệm trái dấu hoặc có nghiêm dương với mọi $m\geq-1$KL:.............................

Như bài toán vừa rồi ta tìm đc khoảng chạy của xy là $\frac{-1}{3}\leq xy\leq 1$Biến đổi A về theo xy $A=(x^2+y^2)^2-2(xy)^2-(xy)^2$$x^2+y^2=1+xy$ $\Rightarrow $A=1+2xy-2(xy)^2$Đặt t=xy $\Rightarrow A=-2t^2+2t+1(\frac{-1}{3}\leq t\leq1)$Khảo sát sự biến thiên của hàm $f(t)$ với t chạy trong khoảng nt ta tìm dc max min)

Như bài toán vừa rồi ta tìm đc khoảng chạy của xy là $\frac{-1}{3}\leq xy\leq 1$Biến đổi A về theo xy $A=(x^2+y^2)^2-2(xy)^2-(xy)^2$$x^2+y^2=1+xy$ $\Rightarrow $$A=1+2xy-2(xy)^2$Đặt t=xy $\Rightarrow A=-2t^2+2t+1(\frac{-1}{3}\leq t\leq1)$Khảo sát sự biến thiên của hàm $f(t)$ với t chạy trong khoảng nt ta tìm dc max min)

Như bài toán vừa rồi ta tìm đc khoảng chạy của xy là $\frac{-1}{3}\leq xy\leq 1$Biến đổi A về theo xy $A=(x^2+y^2)^2-2(xy)^2-(xy)^2$$x^2+y^2=1+xy$\Rightarrow $A=1+2xy-2(xy)^2$Đặt t=xy $\Rightarrow A=-2t^2+2t+1(\frac{-1}{3}\leq t\leq1)$Khảo sát sự biến thiên của hàm $f(t)$ với t chạy trong khoảng nt ta tìm dc max min)

Như bài toán vừa rồi ta tìm đc khoảng chạy của xy là $\frac{-1}{3}\leq xy\leq 1$Biến đổi A về theo xy $A=(x^2+y^2)^2-2(xy)^2-(xy)^2$$x^2+y^2=1+xy$ $\Rightarrow $A=1+2xy-2(xy)^2$Đặt t=xy $\Rightarrow A=-2t^2+2t+1(\frac{-1}{3}\leq t\leq1)$Khảo sát sự biến thiên của hàm $f(t)$ với t chạy trong khoảng nt ta tìm dc max min)

a)$PT\Leftrightarrow2.2.(\frac{\sqrt{3}}{2}sin x+\frac{1}{2}cos x)=2\sqrt{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}sin 2x+\frac{1}{2}cos 2x)$$\Leftrightarrow 4sin(x-\frac{\pi }{6})=2\sqrt{3}cos(2x-\frac{\pi }{3})$Để ý $2x-\frac{\pi }{3}=2(x-\frac{\pi }{6})$Từ đó đưa về pt bậc 2 vs sin

a)$PT\Leftrightarrow2.2.(\frac{\sqrt{3}}{2}sin x-\frac{1}{2}cos x)=2\sqrt{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}sin 2x+\frac{1}{2}cos 2x)$$\Leftrightarrow 4sin(x-\frac{\pi }{6})=2\sqrt{3}cos(2x-\frac{\pi }{3})$Để ý $2x-\frac{\pi }{3}=2(x-\frac{\pi }{6})$Từ đó đưa về pt bậc 2 vs sin

Đề bài như sau:$sin x.sin \frac{x}{2}.cos \frac{3x}{2}-cos x.cos \frac{x}{2}.cos \frac{3x}{2}=\frac{-1}{2}$$\Leftrightarrow sin x(cos x-cos 2x)-cos x.(cos 2x+cos x)=-1$$\Leftrightarrow sin x.cos x-sin xcos 2x-cos^2x-cos x.cos 2x=-1$$\Leftrightarrow sin x.cos x+1-cos^2x-cos 2x(sin x+cos x)=0$$\Leftrightarrow sin x(cos x+sin x)-cos 2x(sin x+cos x)=0$$\Leftrightarrow (sin x-cos 2x)(sin x+cos x)=0

Đề bài như sau:$sin x.sin \frac{x}{2}.cos \frac{3x}{2}-cos x.cos \frac{x}{2}.cos \frac{3x}{2}=\frac{-1}{2}$$\Leftrightarrow sin x(cos x-cos 2x)-cos x.(cos 2x+cos x)=-1$$\Leftrightarrow sin x.cos x-sin xcos 2x-cos^2x-cos x.cos 2x=-1$$\Leftrightarrow sin x.cos x+1-cos^2x-cos 2x(sin x+cos x)=0$$\Leftrightarrow sin x(cos x+sin x)-cos 2x(sin x+cos x)=0$$\Leftrightarrow (sin x-cos 2x)(sin x+cos x)=0$

Giải đố!

Cho $x,y,z\geq0$ Chứng minh $8(x+y+z)^{2}(x^{2}y^{2}+y^{2}+z^{2})+64x^{2}y^{2}z^{2}\geq 6xyz(x+y+z)[(x+y)^{2}+(y+z)^{2}+(z+x)^{2}]+(x+y)^{2}(y+z)^{2}(z+x)^{2}$

Bất đẳng thức

GTLN, GTNN

Giải đố!

Cho $x,y,z\geq0$ Chứng minh $8(x+y+z)^{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2})+64x^{2}y^{2}z^{2}\geq 6xyz(x+y+z)[(x+y)^{2}+(y+z)^{2}+(z+x)^{2}]+(x+y)^{2}(y+z)^{2}(z+x)^{2}$

Bất đẳng thức

GTLN, GTNN