lại có (b+c)2≥4bc⇒4(b+c)2.a≥16abc (đpcm)
PT⟺3x4−4x3=(1−x2+1−−−−−√)(1+x2+1−−−−−√+x2+1)⟺3x4−4x3=−x21+x2+1−−−−−√.(2+x2+x2+1−−−−−√)⟺⎡⎣⎢x=03x2−4x+2+x2+x2+1−−−−−√1+x2+1−−−−−√=0
Ta thấy 2+x2+x2+1−−−−−√1+x2+1−−−−−√≥32Cái này biến đổi tương đương.Do đó 3x2−4x+2+x2+x2+1−−−−−√1+x2+1−−−−−√≥3x2−4x+32>0 không thỏa mãn phương trìnhDo đó phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất x=0
PT ⇔ 4004x−2001−−−−−−−−−−−√3=8x3+20012002
Đặt 4004x−2001−−−−−−−−−−−√3=2y
Ta chuyển về hệ đối xứng này {4004x−2001=8y34004y−2001=8x3
Trừ vế theo vế là Xong !!!
Vai trò của a,b,c là như nhau trong bài toán nên ta có thể coi a=max{a,b,c}. Khi đó 3=a+b+c≤3a suy ra 1≤a≤2. Do đó, ta có:
a3+b3+c3≤a3+[b3+c3+3bc(b+c)]=a3+(b+c)3=a3+(3−a)3
Suy ra a3+b3+c3≤9a2−27a+27=9+9(a−1)(a−2)≤9
a+b+c=0<=>a3+b3+c3=3abc (bạn tự cm nhé)
Áp dụng bổ đề ta có:
(y−z)3(1−x3)+(z−x)3(1−y3)+(x−y)3(1−z3)=3(x−y)(y−z)(x−z)(1−x3)(1−y3)(1−z3)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√3
Ta phân tích VT thì:
(y−z)3(1−x3)+(z−x)3(1−y3)+(x−y)3(1−z3)=(y−z)3+(z−x)3+(x−y)3−[(xy−xz)3+(yz−xy)3+(xz−yz)3]=3(x−y)(y−z)(x−z)−3xyz(x−y)(y−z)(x−z)=3(x−y)(y−z)(x−z)(1−xyz)
Như vậy:
3(x−y)(y−z)(x−z)(1−xyz)=3(x−y)(y−z)(x−z)(1−x3)(1−y3)(1−z3)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√3<=>(1−x3)(1−y3)(1−z3)=(1−xyz)3
Đây là đpcm