$1/$ Do vai trò bình đẳng của $A,B,C$ nên có thể giả sử :
Khi đó dĩ nhiên  $B,C \in (0,\frac{\pi }{3})$
Xét hàm số : $f(x) = tgx $  với   $0 < x < \frac{\pi }{2}$
     $f'(x) = \frac{1}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x}} \Rightarrow f''(x) = \frac{{2\sin x}}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^3}x}} > 0\forall 0 < x < \frac{\pi }{2}$
Như thế $f(x)$ là hàm lồi trên $(0,\frac{\pi }{3})$.Theo bất đẳng thức Jensen , ta có :
            $tg\frac{B}{2} + tg\frac{C}{2} \ge 2tg\frac{{B + C}}{4}$
              $ \Rightarrow tg\frac{B}{2} + tg\frac{C}{2} \ge 2tg(\frac{\pi }{4} - \frac{A}{4})$
             $ \Rightarrow tg\frac{B}{2} + tg\frac{C}{2} \ge \frac{{2(1 - tg\frac{A}{4})}}{{1 + tg\frac{A}{4}}}                      (1)$
Dấu “$=$” xảy ra khi $B=C$
Từ $(1)$ suy ra :
    $tg\frac{A}{2} + tg\frac{B}{2} + tg\frac{C}{2} \ge \frac{{2tg\frac{A}{4}}}{{1 - t{g^2}\frac{A}{4}}} + \frac{{2(1 - tg\frac{A}{4})}}{{1 + tg\frac{A}{4}}}$
        $ \Leftrightarrow tg\frac{A}{2} + tg\frac{B}{2} + tg\frac{C}{2} \ge \frac{{2(t{g^2}\frac{A}{4} - tg\frac{A}{4} + 1)}}{{1 - t{g^2}\frac{A}{4}}}         (2)$
Dấu “$=$” trong $(2)$ xảy ra khi dấu “$=$” trong $(1)$ xảy ra,tức $B=C$
Do $\frac{{2\pi }}{3} \le A < \pi  \Rightarrow \frac{\pi }{6} \le \frac{A}{4} < \frac{\pi }{4} \Rightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{3} \le tg\frac{A}{4} < 1$
Xét hàm só      $g(x) = \frac{{2({x^2} - x + 1)}}{{1 - {x^2}}}$    với  $\frac{{\sqrt 3 }}{3} < x < 1$
                      $g'(x) = \frac{{ - 2{x^2} + 8x - 2}}{{{{(1 - {x^2})}^2}}}$
Theo bảng biến thiên ta có  $g(x) \ge g(\frac{{\sqrt 3 }}{3})\forall \frac{{\sqrt 3 }}{3} \le x < 1$
                                     $\Rightarrow g(x) \ge 4 - \sqrt 3                     (3)$
Dấu “$=$” xảy ra khi  $x = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$
Từ $(2)(3)$ ta có      $tg\frac{A}{2} + tg\frac{B}{2} + tg\frac{C}{2} \ge 4 - \sqrt 3               (4)$
Dấu “$=$” trong $(4)$ xảy ra khi có dấu “$=$” trong $(2)$ và $(3)$,tức :                         
                             $\left\{ \begin{array}{l}
B = C\\
tg\frac{A}{4} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
B = C\\
A = \frac{{2\pi }}{3}
\end{array} \right.$
Ta có $dpcm$
$2/$ Xét pt :  $\sin 2x + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} - \cos x = \frac{1}{2}         (*)$
Dễ thấy $(*)$ tương đương  
                                    $(2\cos x + 1)(2\sin x - 1) = 0$
                                    $\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos x = \frac{{ - 1}}{2}\\
{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = \frac{1}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x =  \pm \frac{{2\pi }}{3} + 2k\pi \\
x = \frac{\pi }{6} + 2k\pi \\
x = \frac{{5\pi }}{6} + 2k\pi 
\end{array} \right.(k \in Z)\\
\end{array}$
Vì $A,B,C$ là $3$ góc trong $1$ tam giác ,lại thỏa mãn $(*)$ nên
          $A,B,C \in (\frac{\pi }{6},\frac{{2\pi }}{3},\frac{{5\pi }}{6})$
Vì $A + B + C = \pi $ nên suy ra trong $3$ góc $A,B,C$ có $2$ góc =$\frac{\pi }{6},1$ góc =$\frac{{2\pi }}{3}$
Ta có dpcm

Để bpt đầu có nghĩa, $x$ phải thỏa mãn điều kiện
$\begin{cases}-1\leq  x<5 \\ 2+4sin\frac{\pi}{5}-x>0  va   \neq  1  \end{cases} $
Do $x\geq  -1$ nên bpt thứ hai $\Leftrightarrow  4x^2+5x+9>3x^2+10x+3\Leftrightarrow  x<2;x>3$
Kết hợp điều kiện $x\in Z$ và $-1\leq  x<5\Rightarrow  \begin{cases}-1\leq  x<2; 2<x<5 \\ x\in Z 
\end{cases} $
$\Rightarrow  x=-1;0;1;4$
Thử trực tiếp các giá trị này vào bpt đầu, ta được nghiệm duy nhất của hệ là  $x=1$

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Hàm số xác định $\forall X \in R$ khi
 $\begin{array}{l}
{\log _3}({X^2} - 2X + 3m) > 0,\forall X \in R\\
 \Leftrightarrow {X^2} - 2X + 3m > 1,\forall X \in R \Leftrightarrow {X^2} - 2X + 3m - 1 > ,\forall X \in R
\end{array}$
Vì $a = 1 > 0$nên ${\Delta ^/} < 0 \Leftrightarrow 1 - (3m - 1) < 0 \Leftrightarrow m < \frac{2}{3}$ với $m > \frac{2}{3},$,
 hàm số xác định$\forall X \in R$

Viết lại $(1) \Leftrightarrow Q(x)=(x^2+1)[(1-\frac{m^2}{9})x^2+(m+3)x+\frac{9}{4}]$
Gọi $f(x)=(1-\frac{m^2}{9})x^2+(m+3)x+\frac{9}{4}$
Để ý: $x^2+1>0 \forall x \in R$ nên $Q(x) \geq 0, \forall x \in R \Leftrightarrow f(x) \geq 0, \forall x \in R   (*)$
* Trường hợp 1: $1-\frac{m^2}{9}=0 \Leftrightarrow m=\pm 3$
+ Với $m=-3, f(x)=\frac{9}{4}>0, \forall x \in R \Rightarrow m=-3$ là một giá trị phải tìm   $(2)$
+ Với $m=3, f(x)=6x+\frac{9}{4} \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -\frac{3}{8} \Rightarrow m=3$ không thích hợp   $(3)$
* Trường hợp 2: $1-\frac{m^2}{9} \neq 0 \Leftrightarrow m \neq \pm 3$. Khi đó $f(x) \geq 0, \forall x \in R$
$\Leftrightarrow \begin{cases}a>0 \\ \Delta \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}1-\frac{m^2}{9}>0 \\ (m+3)^2-9(1-\frac{m^2}{9}) \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}|m|<3 \\ 2m(m+3) \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow -3<m \leq 0   (4)$
Từ $(2),(3),(4)$ suy ra tập hợp các gái trị phải tìm của $m$ là $-3 \leq m \leq 0$

Viết lại $\cos 2x+m\cos x+4 \geq 0 \Leftrightarrow 2\cos^2 x+m\cos x+3 \geq 0$
Đặt $t=\cos x, |t| \leq 1$, Bất phương trình $(1)$ trở thành $2t^2+mt+3 \geq 0$
Bất phương trình $(1)$ nghiệm $\forall x \in R \Leftrightarrow f(t)=2t^2+mt+3 \geq 0, \forall t \in [-1;1]$
Điều đó có khi và chỉ khi $m$ nghiệm một trong hai trường hợp sau
* Trường hợp 1: $\Delta \leq 0 \Leftrightarrow m^2-24 \leq 0 \Leftrightarrow |m| \leq \sqrt{24}     (2)$
* Trường hợp 2: 
    $\begin{cases}\Delta>0 \\ f(\pm 1) \geq 0 \\  (\frac{S}{2}+1)(\frac{S}{2}-1)>0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}|m|>\sqrt{24} \\ 5\pm m \geq 0 \\  S^2-4>0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}|m|>\sqrt{24} \\ |m|\leq 5 \\  m^2-16>0 \end{cases} \Leftrightarrow \sqrt{24} <|m| \leq 5   (3)$
Từ $(2)$ và $(3)$ ta có: $|m| \leq 5$ là tập hợp các giá trị phải tìm của $m$