Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Điều kiện xác định: $\begin{cases}  - x^{2} +4x+21 \geq 0  \\   - x^{2} +3x +10 \geq 0  \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} -3 \leq x \leq 7   \\  -2 \leq x \leq 5   \end{cases} $
$\Leftrightarrow -2 \leq x \leq 5 \Rightarrow $ tập xác định của hàm số là $D=[-2;5]$
Do $- x^{2} +4x+21-  \left(  - x^{2} +3x +10  \right) = x+11>0 $ trên D nên $y>0$
$y= \sqrt{ \left( x+3   \right) \left( 7-x   \right) }- \sqrt{ \left( x+2   \right) \left(  5-x  \right) }>0$
$\Rightarrow y^{2}=x^{2} – x^{2} +4x+21+\left(  - x^{2} +3x +10  \right) $
             $-2 \sqrt{ \left( x+3   \right) \left( 7-x   \right) \left( x+2   \right) \left(  5-x  \right) }$
             $= \left( - x^{2} +2x+15   \right) + \left(- x^{2} +5x+14    \right) $
             $- 2 \sqrt{ \left( x+3   \right) \left( 7-x   \right) \left( x+2   \right) \left(  5-x  \right) }+2$
             $= [ \sqrt{ \left( x+3   \right) \left( 5-x   \right) }-  \sqrt{ \left( x+2   \right) \left( 7-x   \right) }]^{2}+2 \geq 2$
Vậy giá trị nhỏ nhất của y là $ \sqrt{ 2}$ đạt được khi và chỉ khi
      $\sqrt{ \left( x+3   \right) \left( 5-x   \right) }=  \sqrt{ \left( x+2   \right) \left( 7-x   \right) }$
$\Leftrightarrow$$      - x^{2} +2x+15                = - x^{2} +5x+14 \Leftrightarrow 3x=1 \Leftrightarrow x= \frac{ 1}{3}$

- Nếu $a < 0$ thì phương trình vô nghiệm
- Nếu \(a \ge 0\) thì với điều kiện\(\left\{ \begin{array}{l}
x + 1 \ge 0\\
1 - x \ge 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 1 \le 0 \le 1 \Leftrightarrow {x^2} \le 1 \Leftrightarrow 1 - {x^2} \ge 0\)
Phương trình\( \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {x + 1}  + \sqrt {1 - x} } \right)^2} = {a^2} \Leftrightarrow 2 + 2\sqrt {1 - {x^2}}  = {a^2} \Leftrightarrow 2\sqrt {1 - {x^2}}  = {a^2} - 2\)
+ Nếu \({a^2} - 2 < 0\) thì phương trình vô nghiệm
+ Nếu \({a^2} - 2 \ge 0 \Leftrightarrow 1 - {x^2} = {\left( {\frac{{{a^2} - 2}}{2}} \right)^2}\)( thỏa mãn điều kiện \(1 - {x^2} \ge 0\))
\( \Leftrightarrow {x^2} = 1 - {\left( {\frac{{{a^2} - 2}}{2}} \right)^2} = \frac{{ - {a^4} + 4{a^2}}}{4} = \frac{{ - {a^2}\left( {{a^2} - 4} \right)}}{4} \Leftrightarrow x =  \pm \frac{1}{2}\sqrt { - {a^2}\left( {{a^2} - 4} \right)} \) với điều kiện \( - {a^2}\left( {{a^2} - 4} \right) \ge 0\)\( \Leftrightarrow 0 \le {a^2} \le 4\) do điều kiện đang xét  \( \Leftrightarrow 2 \le {a^2} \le 4 \Leftrightarrow \sqrt 2  \le |a| \le 2 \Leftrightarrow \sqrt 2  \le a \le 2\)
Tóm lại:
- Nếu  \(a < \sqrt 2\)   hoặc \(a > 2\) thì phương trình vô nghiệm
- Nếu  \(\sqrt 2  \le a \le a\) thì phương trình có $2$ nghiệm  \(x =  \pm \frac{1}{2}\sqrt {4{a^2} - {a^4}}\)

Điều kiện:  $-1\leq x\leq 1$
*   Nếu $ -1\leq x< 0$  thì VT$ <0<$VP
*   Nếu $0\leq x\leq 1$. Đặt  $x=\cos \varphi      (0\leq \varphi<\frac{\pi}{2})$
PT   $\Leftrightarrow   \sqrt{1+\sin \varphi}(2\sqrt{2}\cos^3 \frac{\varphi}{2}-2\sqrt{2}\sin^3\frac{\varphi}{2})=2+\sin\varphi$
        $\Leftrightarrow     2\sqrt{2}(\sin \frac{\varphi}{2}+\cos \frac{\varphi}{2})(\cos \frac{\varphi}{2}-\sin \frac{\varphi}{2})(1+\frac{1}{2}\sin\varphi)=2+\sin\varphi$
        $\Leftrightarrow     2\sqrt{2}\cos \varphi(1+\frac{1}{2}\sin\varphi)=2+\sin\varphi   \Leftrightarrow \sin\varphi=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \cos\varphi=\frac{1}{\sqrt{2}}$( do $\cos\varphi\geq 0$)
Vậy  $x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ là nghiệm duy nhất của phương trình

Đặt :$\begin{array}{l}
t = \cos X, - 1 \le t \le 1\\
 \Rightarrow c{\rm{os}}2X + m.\cos X + 4 = 2{\cos ^2}X - 1 + m.\cos X + 4 = 2{t^2} + mt + 3
\end{array}$
Hàm số $(1)$ xác định
$\begin{array}{l}
\forall X \in R\\
 \Leftrightarrow 2{t^2} + mt + 3 > 0\\
\forall t \in \left[ { - 1,1} \right]
\end{array}$
Đặt
$f(t) > 0\forall t \in \left[ { - 1,1} \right]$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\Delta  < 0(2)\\
\left\{ \begin{array}{l}
\Delta  \ge 0\\
\left[ \begin{array}{l}
 - 1 < 1 < {t_1} < {t_2}\\
{t_1} \le {t_2} <  - 1 < 1
\end{array} \right.
\end{array} \right.(3)
\end{array} \right.$
Ta có:
$\Delta  = {m^2} - 24;f(1) = m + 5;f( - 1) =  - m + 5$
(HV-18)
$\begin{array}{l}
(2) \Leftrightarrow  - 2\sqrt 6  < m < 2\sqrt 6 \\
(3) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left\{ {m \le  - 2\sqrt 6 } \right. \vee m \ge 2\sqrt 6  \vee m \ge 2\sqrt 6 \\
\left\{ \begin{array}{l}
f(1) > 0\\
\frac{s}{2} - 1 > 0
\end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l}
f( - 1) > 0\\
\frac{s}{2} + 1 < 0
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
f(1) > 0\\
\frac{s}{2} - 1 > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m + 5 > 0\\
 - \frac{m}{4} - 1 > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 5 < m <  - 4\\
\left\{ \begin{array}{l}
f( - 1) > 0\\
\frac{s}{2} + 1 < 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 - m + 5 > 0\\
 - \frac{m}{4} + 1 < 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow 4 < m < 5\\
suy\,\,ra\,\,\,(3) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 - 5 < m \le  - 2\sqrt 6 \\
2\sqrt 6  \le m \le 5
\end{array} \right.(5)
\end{array}$
Hợp các tập nghiệm ở $(4)$và $(5)$ ta có
$ - 5 < m < 5$.  Vậy ${\rm{D =  ( - 5, 5)}}$