Do$a,b,c\geq0$ nên ta có:$3=a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq (a+b+c)^{2}\leq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})=9$
$\Rightarrow \sqrt{3}\leq a+b+c \leq3$
Đặt $t=a+b+c,t\epsilon \left[ {\sqrt{3};3} \right]$
*) $ab+bc+ca=\frac{(a+b+c)^{2}-a^{2}-b^{2}-c^{2}}{2}=\frac{t^{2}-3}{2}$
*) Use BĐT Schur bậc 3 ta có:
$(a+b+c)^{3}+9abc\geq 4(a+b+c)(ab+bc+ca)$
$\Rightarrow 9abc\geq 2t(t^{2}-3)-t^{3}=t^{3}-6t\Rightarrow abc\geq \frac{t^{3}-6t}{9}$
$J=\frac{3\left[ {(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)+3abc}-20 \right]}{a+b+c}$
$\Leftrightarrow J=\frac{3\left[ {t(3-\frac{t^{2}-3}{2})+\frac{t^{3}-6t}{3}}-20 \right]}{t}$
$\Leftrightarrow J=\frac{-t^{2}}{2}-\frac{20}{t}+\frac{15}{2}=f(t)$
Khảo sát hàm f(t) trên đoạn $\left[ {\sqrt{3};3} \right]$
$\Rightarrow f(t)\geq f(3)\Rightarrow J\geq \frac{-11}{3}$
Dấu''='' xra$\Leftrightarrow a=b=c=1$