Chứng minh

Cho 8 số $x_{1},x_{2},...,x_{8}$. Chứng minh trong 6 số sau đây $x_{1}x_{3} + x_{2}x_{6}; x_{1}x_{7} +x_{2}x{8}; x_{3}x_{5} + x_{4}x_{6};x_{3}x_{7} + x_{4}x_{8}; x_{5}x_{7} + x_{6}x_{8}$ thì có ít nhất 1 số không âm.

Bất đẳng thức

Chứng minh

Cho 8 số $x_{1},x_{2},...,x_{8}$. Chứng minh trong 6 số sau đây $x_{1}x_{3} + x_{2}x_{4}; x_{1}x_{5} x_{2}x_{6}; x_{1}x_{7} +x_{2}x{8}; x_{3}x_{5} + x_{4}x_{6};x_{3}x_{7} + x_{4}x_{8}; x_{5}x_{7} + x_{6}x_{8}$ thì có ít nhất 1 số không âm.

Bất đẳng thức

từ phương trình đường cao kẻ từ B $\Rightarrow \overrightarrow{n_{AC}}=(3;1)$$\Rightarrow$phương trình cạnh AC nhận vec tơ pháp tuyến là vectơ chỉ phương của đường cao kẻ từ B, và đi qua điểm A(2;1) là : 3(x-2)+ (y-1)=0 $\Leftrightarrow$3x + y -7 = 0tọa độ điểm C là giao điểm của trung tuyến từ C và AC nên là nghiệm của hệ phương trình$\begin{cases}x+y+1=0 \\ 3x+y-7=0 \end{cases}\Rightarrow C(4;-5)$Gọi I là trung điểm cạnh AB, I thuộc trung tuyến kẻ từ C nên I(i;-1-i)$\Rightarrow$ B(2i-2;-3-2i)B thuộc đường cao kẻ từ B nên 2i-2 - 3(-3-2i) -7 =0$\Leftrightarrow$8i=0 $\Rightarrow i=0\Rightarrow B(0;-\frac{7}{3})$

từ phương trình đường cao kẻ từ B $\Rightarrow \overrightarrow{n_{AC}}=(3;1)$$\Rightarrow$phương trình cạnh AC nhận vec tơ pháp tuyến là vectơ chỉ phương của đường cao kẻ từ B, và đi qua điểm A(2;1) là : 3(x-2)+ (y-1)=0 $\Leftrightarrow$3x + y -7 = 0tọa độ điểm C là giao điểm của trung tuyến từ C và AC nên là nghiệm của hệ phương trình$\begin{cases}x+y+1=0 \\ 3x+y-7=0 \end{cases}\Rightarrow C(4;-5)$Gọi I là trung điểm cạnh AB, I thuộc trung tuyến kẻ từ C nên I(i;-1-i)$\Rightarrow$ B(2i-2;-3-2i)B thuộc đường cao kẻ từ B nên 2i-2 - 3(-3-2i) -7 =0$\Leftrightarrow$8i=0 $\Rightarrow i=0\Rightarrow B(-2;-3)$