Chứng minh

Cho 8 số $x_{1},x_{2},...,x_{8}$. Chứng minh trong 6 số sau đây $x_{1}x_{3} + x_{2}x_{6}; x_{1}x_{7} +x_{2}x{8}; x_{3}x_{5} + x_{4}x_{6};x_{3}x_{7} + x_{4}x_{8}; x_{5}x_{7} + x_{6}x_{8}$ thì có ít nhất 1 số không âm.

Bất đẳng thức

Chứng minh

Cho 8 số $x_{1},x_{2},...,x_{8}$. Chứng minh trong 6 số sau đây $x_{1}x_{3} + x_{2}x_{4}; x_{1}x_{5} x_{2}x_{6}; x_{1}x_{7} +x_{2}x{8}; x_{3}x_{5} + x_{4}x_{6};x_{3}x_{7} + x_{4}x_{8}; x_{5}x_{7} + x_{6}x_{8}$ thì có ít nhất 1 số không âm.

Bất đẳng thức

từ phương trình đường cao kẻ từ B $\Rightarrow \overrightarrow{n_{AC}}=(3;1)$$\Rightarrow$phương trình cạnh AC nhận vec tơ pháp tuyến là vectơ chỉ phương của đường cao kẻ từ B, và đi qua điểm A(2;1) là : 3(x-2)+ (y-1)=0 $\Leftrightarrow$3x + y -7 = 0tọa độ điểm C là giao điểm của trung tuyến từ C và AC nên là nghiệm của hệ phương trình$\begin{cases}x+y+1=0 \\ 3x+y-7=0 \end{cases}\Rightarrow C(4;-5)$Gọi I là trung điểm cạnh AB, I thuộc trung tuyến kẻ từ C nên I(i;-1-i)$\Rightarrow$ B(2i-2;-3-2i)B thuộc đường cao kẻ từ B nên 2i-2 - 3(-3-2i) -7 =0$\Leftrightarrow$8i=0 $\Rightarrow i=0\Rightarrow B(0;-\frac{7}{3})$

từ phương trình đường cao kẻ từ B $\Rightarrow \overrightarrow{n_{AC}}=(3;1)$$\Rightarrow$phương trình cạnh AC nhận vec tơ pháp tuyến là vectơ chỉ phương của đường cao kẻ từ B, và đi qua điểm A(2;1) là : 3(x-2)+ (y-1)=0 $\Leftrightarrow$3x + y -7 = 0tọa độ điểm C là giao điểm của trung tuyến từ C và AC nên là nghiệm của hệ phương trình$\begin{cases}x+y+1=0 \\ 3x+y-7=0 \end{cases}\Rightarrow C(4;-5)$Gọi I là trung điểm cạnh AB, I thuộc trung tuyến kẻ từ C nên I(i;-1-i)$\Rightarrow$ B(2i-2;-3-2i)B thuộc đường cao kẻ từ B nên 2i-2 - 3(-3-2i) -7 =0$\Leftrightarrow$8i=0 $\Rightarrow i=0\Rightarrow B(-2;-3)$

Bất đẳng thức

Cho ABCD là 1 tứ diện lồi thỏa max ${AB,BC,CD,DA} <4$Lấy điểm O bất kỳ ở trong tứ giác, chứng minh min ${OA,OB,OC,OD}<3$

Bất đẳng thức

Bất đẳng thức

Cho ABCD là 1 tứ diện lồi thỏa max {AB,BC,CD,DA} <4Lấy điểm O bất kỳ ở trong tứ giác, chứng minh min {OA,OB,OC,OD}<3

Bất đẳng thức

Bất đẳng thức

Cho ABCD là 1 tứ diện lồi thỏa max $ {AB,BC,CD,DA} <4$Lấy điểm O bất kỳ ở trong tứ giác, chứng minh min ${OA,OB,OC,OD}<3$

Bất đẳng thức

Bất đẳng thức

Cho ABCD là 1 tứ diện lồi thỏa max {AB,BC,CD,DA} <4Lấy điểm O bất kỳ ở trong tứ giác, chứng minh min {OA,OB,OC,OD}<3

Bất đẳng thức

Bất đẳng thức

Cho ABCD là 1 tứ diện lồi thỏa max ${AB,BC,CD,DA} <4$Lấy điểm O bất kỳ ở trong tứ giác, chứng minh min $ {OA,OB,OC,OD}<3$

Bất đẳng thức

Bất đẳng thức

Cho ABCD là 1 tứ diện lồi thỏa max {AB,BC,CD,DA} <4Lấy điểm O bất kỳ ở trong tứ giác, chứng minh min {OA,OB,OC,OD}<3

Bất đẳng thức

Bất đẳng thức

Cho ABCD là 1 tứ diện lồi thỏa max $ {AB,BC,CD,DA} <4$Lấy điểm O bất kỳ ở trong tứ giác, chứng minh min ${OA,OB,OC,OD}<3$

Bất đẳng thức

Bất đẳng thức

Cho ABCD là 1 tứ diện lồi thỏa max {AB,BC,CD,DA} <4Lấy điểm O bất kỳ ở trong tứ giác, chứng minh min {OA,OB,OC,OD}<3

Bất đẳng thức

đặt t= (cosx + sinx) $\Rightarrow$ dt=(-sinx+cosx)dxđổi cận x=0 $\Rightarrow$ t=1 x= Π/4 $\Rightarrow$ t =${\sqrt{2}}$ $t^{2}$ = $sin^{2}$x + 2sinxcosx + $cos^{2}$x=1 + sin2x $\Rightarrow$ tích phân đã cho $\Leftrightarrow$ $\int\limits_{1}^{{\sqrt{2}}}$ $\frac{dt}{\sqrt{4 - t^{2}}}$ = $\frac{1}{4}$ln(2+x)(2-x)$ \left| {\begin{matrix} \sqrt{2}\\ 1 \end{matrix}} \right.$

đặt t= (cosx + sinx) $\Rightarrow$ dt=(-sinx+cosx)dxđổi cận x=0 $\Rightarrow$ t=1 x= Π/4 $\Rightarrow$ t =${\sqrt{2}}$ $t^{2}$ = $sin^{2}$x + 2sinxcosx + $cos^{2}$x=1 + sin2x $\Rightarrow$ tích phân đã cho $\Leftrightarrow$ $\int\limits_{1}^{{\sqrt{2}}}$ $\frac{dt}{\sqrt{4 - t^{2}}}$ đặt a = 2$\sin t$ (với -$\frac{\Pi }{2} $$\leq$a$\leq$$ \frac{\Pi }{2}$dt= 2$\cos a$ dat = 1 $\Rightarrow$ a = $\frac{\Pi }{6}$t=$\sqrt{2}$ $\Rightarrow$ a = $\frac{\Pi }{4}$$\int\limits_{1}^{{\sqrt{2}}}$ $\frac{dt}{\sqrt{4 - t^{2}}} $=$\int\limits_{\frac{\Pi }{6}}^{\frac{\Pi }{4}}$$\frac{2\cos a da}{\sqrt{4-4sin a ^{2}}}$= a $\left| {\begin{matrix} \frac{\Pi }{4}\\ \frac{\Pi }{6}\end{matrix}} \right.=\frac{\Pi }{12}$

đặt t= (cosx + sinx) $\Rightarrow$ dt=(-sinx+cosx)dxđổi cận x=0 $\Rightarrow$ t=1 x= Π/4 $\Rightarrow$ t =${\sqrt{2}}$ $t^{2}$ = $sin^{2}$x + 2sinxcosx + $cos^{2}$x=1 + sin2x $\Rightarrow$ tích phân đã cho $\Leftrightarrow$ $\int\limits_{1}^{{\sqrt{2}}}$ $\frac{dt}{\sqrt{4 - t^{2}}}$ = $\frac{1}{2}$ln(2-t)(2+t)$\left| {\begin{matrix} \sqrt{2}\\ 1 \end{matrix}} \right.$

đặt t= (cosx + sinx) $\Rightarrow$ dt=(-sinx+cosx)dxđổi cận x=0 $\Rightarrow$ t=1 x= Π/4 $\Rightarrow$ t =${\sqrt{2}}$ $t^{2}$ = $sin^{2}$x + 2sinxcosx + $cos^{2}$x=1 + sin2x $\Rightarrow$ tích phân đã cho $\Leftrightarrow$ $\int\limits_{1}^{{\sqrt{2}}}$ $\frac{dt}{\sqrt{4 - t^{2}}}$ = $\frac{1}{4} $ln(2+x)(2-x)$ \left| { $$\begin{matrix} \sqrt{2}\\ 1 \end{matrix}$$ } \right.$

đặt t= (cosx + sinx) $\Rightarrow$ dt=(-sinx+cosx)dxđổi cận x=0 $\Rightarrow$ t=1 x= Π/4 $\Rightarrow$ t =${\sqrt{2}}$ $t^{2}$ = $sin^{2}$x + 2sinxcosx + $cos^{2}$x=1 + sin2x $\Rightarrow$ tích phân đã cho $\Leftrightarrow$ $\int\limits_{1}^{{\sqrt{2}}}$ $\frac{dt}{\sqrt{4 - t^{2}}}$ dt = $\frac{1}{2}$ln(2-t)(2+t)$\left| {\begin{matrix} \sqrt{2}\\ 1 \end{matrix}} \right.$

đặt t= (cosx + sinx) $\Rightarrow$ dt=(-sinx+cosx)dxđổi cận x=0 $\Rightarrow$ t=1 x= Π/4 $\Rightarrow$ t =${\sqrt{2}}$ $t^{2}$ = $sin^{2}$x + 2sinxcosx + $cos^{2}$x=1 + sin2x $\Rightarrow$ tích phân đã cho $\Leftrightarrow$ $\int\limits_{1}^{{\sqrt{2}}}$ $\frac{dt}{\sqrt{4 - t^{2}}}$ = $\frac{1}{2}$ln(2-t)(2+t)$\left| {\begin{matrix} \sqrt{2}\\ 1 \end{matrix}} \right.$

đặt t= (cosx + sinx) $\Rightarrow$ dt=(-sinx+cosx)dxđổi cận x=0 $\Rightarrow$ t=1 x= Π/4 $\Rightarrow$ t =${\sqrt{2}}$ $t^{2}$ = $sin^{2}$x -2sinxcosx + $cos^{2}$x=1 + sin2x $\Rightarrow$ tích phân đã cho $\Leftrightarrow$ $\int\limits_{1}^{{\sqrt{2}}}$ $\frac{dt}{\sqrt{4 - t^{2}}}$ dt = $\frac{1}{2}$ln(2-t)(2+t)$\left| {\begin{matrix} \sqrt{2}\\ 1 \end{matrix}} \right.$

đặt t= (cosx + sinx) $\Rightarrow$ dt=(-sinx+cosx)dxđổi cận x=0 $\Rightarrow$ t=1 x= Π/4 $\Rightarrow$ t =${\sqrt{2}}$ $t^{2}$ = $sin^{2}$x + 2sinxcosx + $cos^{2}$x=1 + sin2x $\Rightarrow$ tích phân đã cho $\Leftrightarrow$ $\int\limits_{1}^{{\sqrt{2}}}$ $\frac{dt}{\sqrt{4 - t^{2}}}$ dt = $\frac{1}{2}$ln(2-t)(2+t)$\left| {\begin{matrix} \sqrt{2}\\ 1 \end{matrix}} \right.$

đặt t= (cosx + sinx) $\Rightarrow$ dt=(-sinx+cosx)dxđổi cận x=0 $\Rightarrow$ t=1 x= Π/4 $\Rightarrow$ t =${\sqrt{2}}$ $t^{2}$ = $sin^{2}$x -2sinxcosx + $cos^{2}$x=1 + sin2x $\Rightarrow$ tích phân đã cho $\Leftrightarrow$ $\int\limits_{1}^{{\sqrt{2}}}$ $\frac{dt}{\sqrt{4 - t^{2}}}$ = $\frac{1}{2}$ln(2-t)(2+t)$\left| {\begin{matrix} \sqrt{2}\\ 1 \end{matrix}} \right.$

đặt t= (cosx + sinx) $\Rightarrow$ dt=(-sinx+cosx)dxđổi cận x=0 $\Rightarrow$ t=1 x= Π/4 $\Rightarrow$ t =${\sqrt{2}}$ $t^{2}$ = $sin^{2}$x -2sinxcosx + $cos^{2}$x=1 + sin2x $\Rightarrow$ tích phân đã cho $\Leftrightarrow$ $\int\limits_{1}^{{\sqrt{2}}}$ $\frac{dt}{\sqrt{4 - t^{2}}}$ dt = $\frac{1}{2}$ln(2-t)(2+t)$\left| {\begin{matrix} \sqrt{2}\\ 1 \end{matrix}} \right.$

đặt t= (cosx - si)nx $\Rightarrow$ dt=(-sinx+cosx)dxđổi cận x=0 $\Rightarrow$ t=1 x= Π/4 $\Rightarrow$ t =$\tfrac{1}{\sqrt{2}}t^{2}$=$sin^{2}$x -2sinxcosx +$cos^{2}$x=1 - sin2x $\Rightarrow$ tích phân đã cho $\Leftrightarrow$ $\int\limits_{1}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}\frac{dt}{\sqrt{t^{2} - 1}}$=$\int\limits_{1}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}$ $(t^{2}-1)^{-\frac{1}{2}}$ =( $\frac{1}{6}$ $t^{3}$ - $\frac{1}{2}$t ) $\left| {\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\ 1 \end{matrix}} \right.$ = $\frac{8-5\sqrt{2}}{24}$

đặt t= (cosx + sinx) $\Rightarrow$ dt=(-sinx+cosx)dxđổi cận x=0 $\Rightarrow$ t=1 x= Π/4 $\Rightarrow$ t =${\sqrt{2}}$ $t^{2}$ = $sin^{2}$x -2sinxcosx + $cos^{2}$x=1 + sin2x $\Rightarrow$ tích phân đã cho $\Leftrightarrow$ $\int\limits_{1}^{{\sqrt{2}}}$ $\frac{dt}{\sqrt{4 - t^{2}}}$=$\frac{1}{2}$ln(2-t)(2+t)$\left| {\begin{matrix} \sqrt{2}\\ 1 \end{matrix}} \right.$

đặt t= (cosx - si)nx $\Rightarrow$ dt=(-sinx+cosx)dxđổi cận x=0 $\Rightarrow$ t=1 x= Π/4 $\Rightarrow$ t =$\tfrac{1}{\sqrt{2}}$ $t^{2}$ = $sin^{2}$x -2sinxcosx + $cos^{2}$x=1 - sin2x $\Rightarrow$ tích phân đã cho $\Leftrightarrow$ $\int\limits_{1}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}$ $\frac{dt}{\sqrt{t^{2} - 1}}$ = $\int\limits_{1}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}$ $(t^{2}-1)^{-\frac{1}{2}}$ =( $\frac{1}{6}$ $t^{2}$-$\frac{1}{2}$t )$\left| { $$\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\ 1 \end{matrix}$$ } \right.$

đặt t= (cosx - si)nx $\Rightarrow$ dt=(-sinx+cosx)dxđổi cận x=0 $\Rightarrow$ t=1 x= Π/4 $\Rightarrow$ t =$\tfrac{1}{\sqrt{2}}$ $t^{2}$ = $sin^{2}$x -2sinxcosx + $cos^{2}$x=1 - sin2x $\Rightarrow$ tích phân đã cho $\Leftrightarrow$ $\int\limits_{1}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}$ $\frac{dt}{\sqrt{t^{2} - 1}}$ = $\int\limits_{1}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}$ $(t^{2}-1)^{-\frac{1}{2}}$ =( $\frac{1}{6}$ $t^{3}$-$\frac{1}{2}$t )$\left| { $$\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\ 1 \end{matrix}$$ } \right.$ = $\frac{8-5\sqrt{2}}{24}$

gọi số xe ban đầu là n thì số tấn mà 1 xe phải chở là 36$\div$n (tấn), lúc sau số xe là n=3 , số tấn 1 xe phải chở là 36$\div$(n+3) (tấn) , mà theo đề bài thì mỗi xe phải chở ít hơn trước 1 tấn nghĩa là 36$\div$(n+3) =36$\div$n -1$\Rightarrow$ 36n = 36(n+3) - n(n+3) $\Leftrightarrow$ $n^{2}$ + 3n -36.3 = 0 $\Leftrightarrow$ n =9 (nhận) hoặc n= -12 (loại)

gọi số xe ban đầu là n thì số tấn mà 1 xe phải chở là 36$\div$n (tấn), lúc sau số xe là n+3 , số tấn 1 xe phải chở là 36$\div$(n+3) (tấn) , mà theo đề bài thì mỗi xe phải chở ít hơn trước 1 tấn nghĩa là 36$\div$(n+3) =36$\div$n -1$\Rightarrow$ 36n = 36(n+3) - n(n+3) $\Leftrightarrow$ $n^{2}$ + 3n -36.3 = 0 $\Leftrightarrow$ n =9 (nhận) hoặc n= -12 (loại)