Ta có:$\frac{a}{1+b^{2}c}=a-\frac{b^{2}c}{1+b^{2}c}\geq a-\frac{b\sqrt{c}}{2}$.
Tương tự rồi cộng vế vs vế ta có:
$VT\geq  (a+b+c)-\frac{b\sqrt{c}+c\sqrt{a}+a\sqrt{b}}{2}=3-\frac{b\sqrt{c}+c\sqrt{a}+a\sqrt{b}}{2}$.
BĐT cần cm <-->$b\sqrt{c}+c\sqrt{a}+a\sqrt{b}\leq3$.

Xét $2A=2+2^{2}+2^{3}+...+2^{10}$
-->$A=2A-A=2^{10}-1=2^{2}.2^{8}-1$<B

a.Xét $\triangle ABC$ có:$AB^{2}+AC^{2}=21^{2}+28^{2}=35^{2}=BC^{2}$
-->$\triangle ABC$ vuông tại $A$(đl Pitago đảo)
b.Xét $\triangle ABH$ và $\triangle CAH$:
$\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90^{0}$.
$\widehat{BAH}=\widehat{HCA}$(cùng phụ $\widehat{HAC}$).
-->$\triangle ABH\sim \triangle CAH$-->$\frac{AH}{CH}=\frac{BH}{AH}$-->$AH^{2}=BH.CH$.
c.Có $\frac{AH}{AB}=\frac{CH}{AC}(\triangle ABH\sim \triangle CAH)$
<-->$\frac{AH}{3AN}=\frac{CH}{3CM}$<-->$\frac{AH}{AN}=\frac{CH}{CM}$.
Xét $\triangle HNA$ và $\triangle HMC$
$\widehat{HAN}=\widehat{HCM}$.
$\frac{AH}{AN}=\frac{CH}{CM}$.
-->$\triangle HNA\sim \triangle HMC$-->$\widehat{CMH}=\widehat{ANH}$

Bài 2:
a.Xét $\triangle ABC$:$BE,CF$ là đường cao,$BE$ cắt $CF$ tại $H$-->$H$ là trực tâm-->$AH$ vuông góc $BC$.
b.Xét $\triangle AEB$ và $\triangle AFC$có:
$\widehat{BAC}$ chung
$\widehat{AEB}=\widehat{AFC}=90^{0}$.
-->$\triangle AEB\sim \triangle AFC$-->$\frac{AE}{AF}=\frac{AB}{AC}$-->$AE.AC=AF.AB$
c.Xét $\triangle AEF$ và $\triangle ABC$có:
$\widehat{BAC}$ chung
$\frac{AE}{AF}=\frac{AB}{AC}$.
-->$\triangle AEF\sim \triangle ABC$