|
|
giải đáp
|
Bất đẳng thức trong kì thi chọn đội tuyển 9
|
|
|
|
Ta có: $(a+b+2c)^2=a^2+b^2+4c^2+2ab+4bc+4ac \geq 4(ab+bc+ca+c^2)$.Tương tự với 2 biếu thức $(b+c+2a)^2$ và $(c+a+2b)^2$ Nên, ta có: $B=\frac{\sqrt{ab}}{a+b+2c} \leq \sqrt{\frac{ab}{(a+c)(b+c)}}\leq \frac{1}{2}.(\frac{a}{a+c} + \frac{b}{b+c})$ Chứng minh tương tự, ta thu được $A \leq \frac{1}{2}.2=1$ |
|
|
|
|
|
giải đáp
|
Giải phương trình lớp 9
|
|
|
|
Ta có phương trình tương đương: $x^2-x+4=\sqrt{x^3-3x+2}+\sqrt{x^3+x^2-4x+6}$ Đặt $\sqrt{x^3-3x+2}=a$ và $\sqrt{x^3+x^2-4x+6}=b$ Nên, $b^2-a^2=x^2-x+4$.Ta có: $b^2-a^2=a+b$ Hay, $(a+b)(b-a-1)=0$ Th1: $a+b=0$ thì $a=b=0$, vô lý Th2: $b-a=1$ Ta có: $\sqrt{(x+3)(x^2-2x+2)}=\sqrt{(x+2)(x^2-2x+1)}+1$ Bình phương lên ta có: $(x+3)(x-1)^2+x+3=(x+2)(x^2-2x+1)+2.(x-1)\sqrt{x+2}+1$ Hay, $(x-1)^2+x+2=2.(x-1)\sqrt{x+2}$ Tương đương: $(x-1)^2-2.(x-1).\sqrt{x+2}+x+2=0$ Tương đương: $[x - 1 - \sqrt{x+2}]^2=0$ Nên, $x-1=\sqrt{x+2}$ Tương đương: $x^2-2x+1=x+2$ Tương đương: $x^2-3x-1=0$ Nên, $x=\frac{3+\sqrt{13}}{2}$
|
|
|
|
đặt câu hỏi
|
Giải phương trình lớp 9
|
|
|
|
Giải phương trình sau trên tập số thực: $x^2-x+4=(x-1)\sqrt{x-2}+\sqrt{x^3+x^2-4x+6}$ |
|
|
|
|
|
giải đáp
|
Giải phương trình lớp 9
|
|
|
|
Lập phương và biến đổi, ta thu được: $x-8=-3.\sqrt[3]{x.(x-16)}(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x-16})$ Lại từ đề bài, ta có: $\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x-16} =\sqrt[3]{x-8}$ Nên ta có:$ \sqrt[3]{(x-8)^3}=-3.\sqrt[3]{x.(x-16)}.\sqrt[3]{x-8}$ Xét $x = 8$, thỏa mãn xét $x$ khác $8$ Ta có: $\sqrt[3]{(x-8)^2}=-3.\sqrt[3]{x^2-16x}$ Lập phương lên ta có: $x^2-16x+64=-27.(x^2-16x)$ Hay, $28x^2+448x+64=0$ Giải phương trình, ta thu được $x=\frac{-56 \pm 12.\sqrt{21}}{7}$ |
|
|
|
|
|
giải đáp
|
Bất đẳng thức lớp 9
|
|
|
|
Xét: $2=a^2+b^2 \geq 2ab$; nên $1 \geq ab$ tương đương $1 \geq \sqrt{ab}$ tương đương $\sqrt{ab} \geq ab$ Đồng thời, $a^3+b^3+4=a^3+1+1+b^3+1+1 \geq 3a + 3b \geq 6.\sqrt{ab} \geq 6ab$}Đồng thời, $ab+1 \leq 2ab$ Nên, $A \geq \frac{6ab}{2ab}=3$ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=1$ Xét: vì $a \leq 2 ; a\geq 0$ nên $a^2 \leq \sqrt{2}a$ tương đương $a^3 \leq \sqrt{2}a^2$; tương đương với $b$. Nên, ta có: $A \leq \frac{\sqrt{2}.a^2+\sqrt{2}b^2+4}{ab+1} \leq \frac{2.\sqrt{2}+4}{1}=2.\sqrt{2}+4$ (Do $a;b \geq 0$) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=0;b=\sqrt{2}$ hoặc $a=\sqrt{2};b=0$ |
|
|
|
đặt câu hỏi
|
Bất đẳng thức lớp 9
|
|
|
|
Cho $a,b$ là các số thực không âm $a^2+b^2=2$. Tìm Min,Max $A=\frac{a^3+b^3+4}{ab+1}$
|
|
|
|
giải đáp
|
Bất đẳng thức lớp 9
|
|
|
|
Không mất tính tổng quát, giả sử $2 \geq a \geq b \geq c \geq 0$
Đặt $a = 1 + x$; $c= 1 - y$; do đó, $b=1+y-x$
Đồng thời, ta cũng thu được, $0 \leq x ; y \leq 1$
Cần phải chứng minh: Có, $A=a^3+b+3+c^3$
Hay, $A=(1+x)^3+(1-y)^3+(1+y-x)^3$
$=x^3+3x^2+3x+1+1-3y+3y^2-y^3+1+3.(y-x)+3.(y-x)^2+(y-x)^3$
$=x^3+3x^2+3x+1+1-3y+3y^2-y^3+1+3y-3x+3y^2-6xy+3y^2+y^3-3y^2x+3yx^2-x^3$
$=6x^2+6y^2-6xy+3-3y^2x+3yx^2$
Mà $x,y\epsilon[0;1]$ nên $x^2 \leq x;y^2 \leq y$
$A=3.(2x^2+2y^2-2xy+1-xy(y-x))$
Xét $B=2x^2+2y^2-2xy+1-xy(y-x)$
$B-3 \leq 2x^2+2y^2-4xy-xy(y-x)=(y-x)(2y-2x-xy)$
Dễ dàng cm $B-3\leq0$ nên, $A\leq 9$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $y=x=1$ hay $a=2;b=1;c=0$
|
|
|
|
đặt câu hỏi
|
Bất đẳng thức lớp 9
|
|
|
|
Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn :$ 0 \leq a;b;c \leq 2$ và $a+b+c=3$. Tìm Max:$A=a^3+b^3+c^3$
|
|
|
|
đặt câu hỏi
|
Bất đẳng thức lớp 9
|
|
|
|
Cho $(x+2)(y-1)=\frac{9}{4}$.Tìm Min:$A=\sqrt{x^4+4x^3+6x^2+4x+2}+\sqrt{y^4-8y^3+24y^2-32y+17}$
|
|
|
|
giải đáp
|
Bất đẳng thức lớp 9
|
|
|
|
Sử dụng bất đẳng thức Cô-si, ta thu được: $x^2 + 1 \geq 2x$ $y^2 + 4 \geq 4y$ $z^2 + 1 \geq 2z$ Mà, $3y \geq x^2 + y^2 + z^2$, nên, $3y + 6 \geq x^2 + 1 + y^2 + 4 + z^2 +1 \geq 2x + 4y + 2z$ Hay, $6 \geq 2x + y + 2z$ Lại theo bất đẳng thức Cô-si, ta thu được: $\frac{1}{(x+1)^2} + \frac{1}{4} \geq \frac{1}{x+1}$ $\frac{4}{(y+2)^2} + \frac{1}{4} \geq \frac{2}{y+2}=\frac{1}{\frac{y}{2}+1}$ $\frac{8}{(z+3)^2} + \frac{2}{4} \geq \frac{4}{z+3}$ Nên, $A + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2}{4} = A + 1 \geq \frac{1}{x+1} + \frac{1}{\frac{y}{2}+1}+\frac{4}{z+3}$ Theo bất đẳng thức cộng mẫu số Svaxo, ta có: $A + 1 \geq \frac{(1+1+2)^2}{x+1+\frac{y}{2}+1+z+3}=\frac{16}{x+\frac{y}{2}+z+5}=\frac{32}{2x+y+2z+10} \geq \frac{32}{10+6}=2$ Vậy, $A \geq 1$ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=1$; $y=2$ và $z=1$ |
|
|
|
đặt câu hỏi
|
Bất đẳng thức lớp 9
|
|
|
|
Cho $x,y,z$ là 3 số thực không âm thỏa mãn: $x^2+y^2+z^2 \geq 3y$. Tìm Min: $A=\frac{1}{(x+1)^2} + \frac{4}{(y+2)^2} + \frac{8}{(z+3)^2}$ |
|
|
|
giải đáp
|
Bất đẳng thức lớp 9
|
|
|
|
Theo bất đẳng thức Cô-si ta có: $a^2+b^2 \geq 2ab$ Nên, ta có: $B=\sqrt{3a^2+2ab+3b^2} = \sqrt{2a^2+2b^2+2ab+a^2+b^2} \geq \sqrt{2a^2+2b^2+2ab+2ab} = \sqrt{2a^2+2b^2+4ab} = \sqrt{2.(a^2+2ab+b^2)} = \sqrt{2.(a+b)^2} = \sqrt{2}.\sqrt{(a+b)^2}=\sqrt{2}.(a+b)$ Chứng minh tương tự, ta có:$A\geq 2.\sqrt{2}.(a+b+c)$ Hay, $A+6.\sqrt{2}\geq 2.\sqrt{2}(a+b+c+3) \geq 2.\sqrt{2}(2.\sqrt{a}+2.\sqrt{b}+2.\sqrt{c})=4.\sqrt{2}.3=12.\sqrt{2}$ Nên, $A \geq 6.\sqrt{2}$ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1 |
|