Cho $u\leq v$ .Chứng minh rằng : $u^{3}-3u \leq v^{3}-3v+4$

Ta có: $1=x^{2}+y^{2}+z^{2}=(x+y+z)^{2}-2(xy+yz+zx)   $
nên $P=x+y+z+\frac{(x+y+z)^{2}-1}{2}=\frac{1}{2}(x+y+z+1)^{2}-1 \geq  -1 $
Khi $x=-1, y=z=0 $ thì $P=-1$. Vậy $\min P=-1$
Ta có: $xy+yz+zx \leq  x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 $
Nên $(x+y+z)^{2}=1+2(xy+yz+zx)\leq  3 $. Do đó $P \leq   \sqrt{3}+1 $
Khi $x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3} } $ thì $P=\sqrt{3} $. Vậy $\max P=\sqrt{3}+1 $

Phương trình tương đương với:
$\begin{cases}\frac{\pi }{2}\ cos(x-\frac{\pi }{4}) = \frac{\pi }{4}+2k \pi   \\\frac{\pi }{2}\ cos(x-\frac{\pi }{4}) =-\frac{\pi }{4}+2k \pi   \end{cases} \Leftrightarrow  \begin{cases}\ cos(x-\frac{\pi }{4})=\frac{1}{2}+4k  (1) \\\ cos(x-\frac{\pi }{4}) =-\frac{1}{2}+4k  (2) \end{cases}  k\in Z$
Phương trình $(1)$ có nghiệm khi và chỉ khi:
$|\frac{1}{2}+4k|\leq  1 \Leftrightarrow  \frac{-3}{8}\leq  k \leq  \frac{1}{8} \Leftrightarrow  k=0 . (k\in Z)  $
Khi đó $(1)$ có dạng :
$\ cos(x-\frac{\pi }{4}) =\frac{1}{2} \Leftrightarrow  \begin{cases}x-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{3}+2l \pi   \\ x-\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{3}+2l \pi \end{cases} \Leftrightarrow  \begin{cases}x=\frac{7 \pi }{12}+2l \pi \\ x= \frac{-\pi }{12}+2l \pi  \end{cases}   l\in Z (3) $
Phương trình $(2)$ có nghiệm khi và chỉ khi:
$|-\frac{1}{2}+4k|\leq  1 \Leftrightarrow  \frac{-1}{8}\leq  k \leq  \frac{3}{8} \Leftrightarrow  k=0  (k\in Z)   $
Khi đó $(2)$ có dạng:
$\ cos(x-\frac{\pi }{4})=-\frac{1}{2}  $
$\Leftrightarrow  \begin{cases} x-\frac{\pi }{4} =\frac{2 \pi }{3}+2l \pi   \\ x-\frac{\pi }{4} =-\frac{2 \pi }{3}+2l \pi \end{cases} \Leftrightarrow  \begin{cases}x=\frac{11 \pi }{12}+2l \pi   \\ x=\frac{-5 \pi }{12}+2l \pi   \end{cases}  l\in Z (4)$
Kết hợp $(3), (4)$ ta có:
$\begin{cases}x=\frac{11 \pi }{12}+l \pi   \\ x= \frac{7 \pi }{12}+ l \pi  \end{cases} , l\in Z $
Vậy phương trình có  2 họ nghiệm