Xác định các giá trị của $k$  sao cho phương trình: $\log \left( x^2 + 2kx \right) - \log \left( 8x - 6k - 3 \right) = 0\,\,\left( 1 \right)$  có $1$ nghiệm duy nhất

Với các giá trị nào của $m$ thì hàm số : $y = {2^{\log_3\left[ {\left( {m + 1} \right)x^2- 2\left( {m - 1} \right)x + 2m - 1} \right]}}$ xác định với mọi $x \in R$

Tính $I = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\sqrt {\tan^2x + \cot ^2x - 2} \,dx} $ 

Trong không gian với hệ tọa độ trực chuẩn $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ với $C(3;2;3)$, đường cao $AH$ nằm trên đường thẳng ($d_1$) có phương trình: $(d_1):\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z - 3}{- 2}$ và đường phân giác trong $BM$ của góc $B$ nằm trên đường thẳng ($d_2$) có phương trình:   $({d_2}):\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 4}{ - 2} = \frac{z - 3}{1}$
Tính độ dài các cạnh của tam giác $ABC.$

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, xét phép biến hình $f$ biến mỗi điểm $M(x;y)$ thành điểm $M'(y;-x).$ Chứng minh rằng đây là phép dời hình.

Cho một đường thẳng $d$ và một điểm $A$ cố định không thuộc $d$. Với mỗi điểm $B$ di động trên $d$, ta dựng một tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$. Tìm quỹ tích đỉnh $C$.

    Cho Parabol: $y^2= 4x$
$a)$ Chứng minh rằng từ điểm $N$ tùy ý thuộc đường chuẩn của Parabol có thể kẻ được hai tiếp tuyến đến Parabol mà hai tiếp tuyến ấy vuông góc nhau.
$b)$ Gọi $T_1; T_2$ lần lượt là hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến nói ở câu trên.
Chứng minh rằng đường thẳng $T_1,T_2$ luôn đi qua một điểm cố định khi $N$ chạy trên đường chuẩn của Parabol.
$c)$ Cho $M$ là một điểm thuộc Parabol ($M$ khác đỉnh của Parabol). Tiếp tuyến tại $M$ của Parabol cắt các trục $Ox, Oy$ lần lượt tại $A, B$. Tìm quỹ tích trung điểm $I$ của $AB$ khi $M$ chạy trên Parabol đã cho.

Tìm giá trị lớn nhất của $a$ để bất phương trình sau có ít nhất một nghiệm:
                       $\sqrt {a^3} (x - 1)^2 + \frac{\sqrt a }{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} \le \sqrt[4]{a^3}\left| {\sin \frac{\pi x}{2}} \right|$

Chứng minh rằng trong mọi tam giác $ABC$ ta luôn có:
  $0 < \sin A + \sin B + \sin C - \sin A\sin B - \sin B\sin C - \sin C\sin A < 1$