Giải hệ phương trình $\begin{cases}x^4-x^3y+x^2y^2=1\\x^3y-x^2+xy=-1\end{cases} $

Giải phương trình $2\cos\frac{3x}{5} +1=3\cos\frac{4x}{5} $

Trong mặt phẳng $Oxy$ cho đường tròn $(C) :  x^2+y^2-2x+4y+2=0$. Viết phương trình $(C')$ tâm $M(5; 1)$ biết $(C')$ cắt $(C)$ tại 2 điêm phân biệt sao cho $AB=\sqrt{3}$.

Tính : $I = \int\limits_1^e {x\ln^2xdx} $ 

Đặt $I_{n}=\int_{1}^{e}(lnx)^ndx, n\in Z^{+}$
$1)$    Tìm hệ thức liên hệ giữa ${I_{n + 1}}$ Và ${I_n}$. Tính ${I_1},\,{I_2}$.
$2)$    Chứng minh ${I_{n + 1}} \le {I_n} \le \frac{e}{{n + 1}}$ và tính $\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {I_n}$

Tính : $I = \int_1^{{e^\pi }} {\cos \left( {\ln x} \right)dx} $

Giải bất phương trình :
  $\log _3\sqrt {x^2 - 5x + 6}  + \log _\frac{1}{3}\sqrt {x - 2}  > \frac{1}{2}{\log _\frac{1}{3}}\left( {x + 3} \right)        (1)$

Giải các bất phương trình :
$\begin{array}{l}
1)\log _x2.\log _{2x}2 > \log _{4x}2                         (1)\\
2)\log _{\left| x \right|}\left( {x^2 - \frac{1}{2}x} \right) > 1                            (2)
\end{array}$

Xác định các giá trị của $k$  sao cho phương trình: $\log \left( x^2 + 2kx \right) - \log \left( 8x - 6k - 3 \right) = 0\,\,\left( 1 \right)$  có $1$ nghiệm duy nhất

Với các giá trị nào của $m$ thì hàm số : $y = {2^{\log_3\left[ {\left( {m + 1} \right)x^2- 2\left( {m - 1} \right)x + 2m - 1} \right]}}$ xác định với mọi $x \in R$

Tính $I = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\sqrt {\tan^2x + \cot ^2x - 2} \,dx} $ 

Trong không gian với hệ tọa độ trực chuẩn $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ với $C(3;2;3)$, đường cao $AH$ nằm trên đường thẳng ($d_1$) có phương trình: $(d_1):\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z - 3}{- 2}$ và đường phân giác trong $BM$ của góc $B$ nằm trên đường thẳng ($d_2$) có phương trình:   $({d_2}):\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 4}{ - 2} = \frac{z - 3}{1}$
Tính độ dài các cạnh của tam giác $ABC.$

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, xét phép biến hình $f$ biến mỗi điểm $M(x;y)$ thành điểm $M'(y;-x).$ Chứng minh rằng đây là phép dời hình.

Cho một đường thẳng $d$ và một điểm $A$ cố định không thuộc $d$. Với mỗi điểm $B$ di động trên $d$, ta dựng một tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$. Tìm quỹ tích đỉnh $C$.

    Cho Parabol: $y^2= 4x$
$a)$ Chứng minh rằng từ điểm $N$ tùy ý thuộc đường chuẩn của Parabol có thể kẻ được hai tiếp tuyến đến Parabol mà hai tiếp tuyến ấy vuông góc nhau.
$b)$ Gọi $T_1; T_2$ lần lượt là hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến nói ở câu trên.
Chứng minh rằng đường thẳng $T_1,T_2$ luôn đi qua một điểm cố định khi $N$ chạy trên đường chuẩn của Parabol.
$c)$ Cho $M$ là một điểm thuộc Parabol ($M$ khác đỉnh của Parabol). Tiếp tuyến tại $M$ của Parabol cắt các trục $Ox, Oy$ lần lượt tại $A, B$. Tìm quỹ tích trung điểm $I$ của $AB$ khi $M$ chạy trên Parabol đã cho.