Áp dụng định lí hàm số $\cos$ và hàm số $\sin$ ta có:
$\cot A=\frac{\cot A}{\sin A}=\frac{\frac{b^2+c^2-a^2}{2 bc} }{\frac{a}{2 R} }=\frac{R(b^2+c^2-a^2)}{abc};$
$\cot B=\frac{R (a^2+c^2-b^2)}{abc}; \cot C=\frac{(a^2+b^2-c^2)}{abc}.$
Nếu $\cot A+\cot C=2 \cot B$, ta có:
$2\frac{R (a^2+c^2-b^2)}{abc}=\frac{R(b^2+c^2-a^2)}{abc}=\frac{(a^2+b^2-c^2)}{abc}$
$\Leftrightarrow 2 a^2+2 c^2-2 b^2=2 b^2\Leftrightarrow a^2+c^2=2 b^2.$      

Vì $3.18^0+2.18^0=54^0+36^0=90^0$ nên ta suy ra:
$\sin (3.18^0)=\cos(2.18^0).$
Từ đó $3\sin 18^0-4\sin^318^0=1-2\sin^2.18^0$
Đặt $x=\sin 18^0$ thì $0<x<1$ và  $4x^3-2x^2-3x+1=0$.
Phương trình này tương đương với $(x-1)(4x^2+2x+1)=0$
$\Leftrightarrow x=1$ hay $x=\frac{\sqrt{5}-1 }{4}$ hay $x=\frac{\sqrt{5} +1}{4}.$
So với điều kiện chỉ có $x=\frac{\sqrt{5}-1 }{4}$ là thích hợp. Từ đó:
$8\sin^318^0+8\sin^218^0=8(\frac{\sqrt{5}-1 }{4})^3+8(\frac{\sqrt{5}-1 }{4})^2$
$=8 \frac{5\sqrt{5}+3\sqrt{5}-15-1  }{64}+8 \frac{5-2\sqrt{5}+1 }{16}=1$, là điều phải chứng minh.  

Chứng minh đẳng thức:   $8 \sin^318^0+8\sin^2 18^0=1.$

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Cho lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$. Gọi $M$ là trung điểm $CD$ và $N$ là trung điểm $A'D'$. Hãy tính góc giữa hai đường thẳng $B'M$ và $C'N$.

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Giải các hệ phương trình:
$a) \begin{cases}\frac{x+3y}{5} +\frac{y+z}{6}  =z \\ \frac{2x+5}{7}+\frac{4z+5}{3}  =z+1\\ \frac{3y+7}{8}+\frac{2z+1}{3}=y-1  \end{cases}                     b)  \begin{cases}\frac{1}{x-1}+\frac{1}{y-2}+\frac{1}{z-3}   =1 \\ \frac{1}{x-1}+\frac{2}{y-2}+\frac{4}{z-3}   =8\\\frac{1}{x-1}+\frac{3}{y-2}+\frac{9}{z-3}   =27 \end{cases} $

$c) \begin{cases}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{1}{z}   =0\\\frac{1}{x} -\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=10   \\ -\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} =-6 \end{cases}                         d) \begin{cases}\frac{x-3}{5}=\frac{y+9}{13}  =\frac{6z-1}{7}  \\3x+2 y-3z=12.\end{cases} $

$e) \begin{cases}\frac{x}{5} =\frac{y}{7} =\frac{z}{13}  \\ x+2y+3z=174 \end{cases}                          f) \begin{cases}\frac{2x-7}{3} = \frac{3y+1}{2} =\frac{6z-1}{7} \\ 3x+2y-z=61 \end{cases} $

$g) \begin{cases}x+y+z=-2 \\ y+z+t=4\\z+t+x=-3\\t+x+y=1 \end{cases} $