a) $\frac{u}{v}         \Rightarrow         y'=\frac{u'v+uv'}{v^2} $
                          $y'(x_0)=\frac{u'(x_0)v(x_0)-u(x_0).v'(x_0)}{v^2(x_0)} $
                          $y'(x_0)=0    \Leftrightarrow    u'(x_0)v(x_0)-u(x_0).v'(x_0)=0                    (1)$
Từ (1) suy ra   $y(x_0)=\frac{u(x_0)}{v(x_0)}=\frac{u'(x_0)}{v'(x_0)}  $
b)  $y=\frac{x^2+x+1}{x-1} \Rightarrow  y'=\frac{(2x+1)(x-1)-x^2-x+1}{(x-1)^2}=\frac{x(x-2)}{(x-1)^2}  $
      $y'=0 \Rightarrow  x=0,  x=2$
  Áp dụng câu a)
* Ứng với $x=0    \Rightarrow    y(0)=\frac{2(0)+1}{1}=1 $
* Với $x=2                \Rightarrow   y(2)=\frac{2(2)+1}{1} =5$.
Vậy các điểm tại đó tiếp tuyến song song với $Ox$  là  $A(0;1)$  và  $B(2;5)$

a) Hàm số xác định khi   $\sqrt{2} \geq  \frac{1}{\cos 2x}                                    (1)  $
*  Nếu $\cos 2x >0$  thì  $(1)          \Leftrightarrow  \cos 2x  \geq  \frac{\sqrt{2} }{2} $
Suy ra $-\frac{\pi}{4}+k2\pi \leq  \frac{\pi}{4}+k2\pi \Leftrightarrow -\frac{\pi}{8}+k\pi \leq  x \leq  \frac{\pi}{4} + k\pi      $
*  Nếu $\cos 2x < 0 $ thì $(1)$ luôn luôn nghiệm đúng.
Vậy tập xác định của hàm số là   $[-\frac{\pi}{8}+k\pi; \frac{\pi}{8}+k \pi]  $

b) Hàm số xác định khi  $\sin 2x -\sin 4x > 0$
                                  $\Leftrightarrow  \sin 4x -\sin 2x <0  \Leftrightarrow   2\sin x \cos 3x <0$
Trên khoảng $(0; \pi)$ thì $\sin x>0$    nên $(1) \Leftrightarrow   \cos 3x <0$
                                  $\Leftrightarrow   \frac{\pi}{2} < 3x < \pi   \Leftrightarrow   \frac{\pi}{6}< x< \frac{\pi}{3}  $.
Vậy tập xác định của hàm số là $(\frac{\pi}{6}+k\pi; \frac{\pi}{3}+k\pi  )$

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

$A=\frac{M}{N} $,  ở đây  $M=\tan^2 \frac{\pi}{12}+\tan^2 \frac{5\pi}{12};  N=\cot \frac{\pi}{24}   $
* Ta tính $M$:
$M=(\frac{1}{\cos^2 \frac{\pi}{12} }-1 )+(\frac{1}{\cos^2 \frac{5\pi}{12} }-1 )= \frac{2}{1+\cos \frac{\pi}{6} }+\frac{2}{1+\cos \frac{5\pi}{6} }-2  $
     $=\frac{2}{1+\frac{\sqrt[]{3} }{2} }+\frac{2}{1-\frac{\sqrt[]{3} }{2} }-2=\frac{4(2-\sqrt[]{3} )}{4-3}+\frac{4(2+\sqrt[]{3} )}{4-3}-2=16-2=14    $
* Ta tính $N$:   $\cot \frac{\pi}{12}=\cot \frac{\pi}{6} +\frac{1}{\sin \frac{\pi}{6} }=\sqrt[]{3}+2   $
$N=\cot \frac{\pi}{24}=\cot \frac{\pi}{12}+\frac{1}{\sin \frac{\pi}{12} }=\cot \frac{\pi}{12}+\sqrt[]{1+\cot^2 \frac{\pi}{12} }     $
     $=\sqrt[]{3}+2+\sqrt[]{1+(2+\sqrt[]{3} )^2}=\sqrt[]{3}+2+\sqrt[]{8+4\sqrt[]{3} }=\sqrt[]{3}+2+\sqrt[]{(\sqrt[]{6}+\sqrt[]{2})^2}      $
Vậy $N=\sqrt[]{2}+\sqrt[]{3}+\sqrt[]{4}+\sqrt[]{6} $.   Suy ra   $A=\frac{14}{\sqrt[]{2}+\sqrt[]{3}+\sqrt[]{4}+\sqrt[]{6}    } $
b) $B=\frac{E}{F} $, ở đây   $E=\cos \frac{\pi}{7}.\cos \frac{4\pi}{7}. \cos \frac{5\pi}{7}   $,
                                 $F= \cos \frac{2\pi}{31}.\cos \frac{4\pi}{31}. \cos \frac{8\pi}{31}. \cos \frac{16\pi}{31}.\cos \frac{32\pi}{31}     $
* Tính $E$:   Vì   $\cos \frac{5\pi}{7}=\cos (\pi-\frac{2\pi}{7} )=-\cos \frac{2\pi}{7}   $
   nên   $\sin \frac{\pi}{7}E=-\sin \frac{\pi}{7}. \cos \frac{\pi}{7} . \cos \frac{2\pi}{7}. \cos \frac{4\pi}{7} = -\frac{1}{8}\sin \frac{8\pi}{7}=\frac{1}{8}\sin \frac{\pi}{7}          $
   Do đó   $E=\frac{1}{8} $.
* Tính $F$: Vì $\cos \frac{32\pi}{31}=\cos(\pi-\frac{\pi}{31} )=-\cos \frac{\pi}{31}  $  nên
                 $F=-\cos \frac{\pi}{31} .\cos \frac{2\pi}{31}.\cos \frac{4\pi}{31}. \cos \frac{8\pi}{31}. \cos \frac{16 \pi}{31}$.
Tương tự cách tính $E$, ta có :
   $\sin \frac{\pi}{31}.F=- \frac{1}{32} \sin \frac{32\pi}{31}=\frac{1}{32}\sin \frac{\pi}{31}$( vì  $\sin \frac{32\pi}{31}=\sin (\pi+\frac{\pi}{31} )=-\sin \frac{\pi}{31}  $)
 Do đó  $F=\frac{1}{32} $.  Vậy $B=\frac{E}{F} =\frac{\frac{1}{8} }{\frac{1}{32} }=4 $

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

a) $-1 \leq  \cos x \leq  1$ nên $2-\cos x >0 , \forall x \in R$.  Vậy tập xác định của hàm số đã cho là $R$.
b) Để biểu thức có nghĩa , $\cos x \neq  0$ hay $x\neq  \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in Z $.
Vậy tập xác định của hàm số là $R\setminus \left\{ {\frac{\pi}{2}+k\pi, k\in Z } \right\} $
c) Để biểu thức có nghĩa thì $2\sin x -\sqrt{2} \neq  0 $ hay $\sin x \neq  \frac{\sqrt[]{2} }{2} $
$\Rightarrow  x\neq  \frac{\pi}{4}+k2\pi  ,  x\neq  \frac{3\pi}{4}+ k2\pi  $
Vậy tập xác định của hàm số là $R\setminus \left\{ {\frac{\pi}{4}+k2\pi; \frac{3\pi}{4}+k2\pi , k\in Z } \right\} $
d) Để hàm số xác định thì phân thức có mẫu khác không:    $\cos \frac{x}{2}-3 \neq 0 , \tan x \neq  \sqrt{3}  $
Rõ ràng:     $\cos \frac{x}{2}\neq  3, \forall x \in R $
                    $\tan x \neq  \sqrt{3} $   khi   $x\neq  \frac{\pi}{2}+k\pi $  và  $x \neq  \frac{\pi}{3} + l\pi$.
Vậy tập xác định của hàm số đã cho là $R\setminus \left\{ {\frac{\pi}{2}+ k\pi; \frac{\pi}{3}+ l \pi  } \right\} $

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

a) $y=\cos^2x=\frac{1+\cos 2x}{2}  \Rightarrow  y^{(n)}=2^{ n-1} \cos \left ( 2x+n\frac{\pi}{2}\right )  $
b) $y=\sin^3 x=\frac{3\sin x-\sin 3x}{4} $   ( Do $\sin 3x=3 \sin x -4\sin^3x$)
    $y^{(n)}=\frac{3^n}{4} \sin \left ( x+n\ \frac{\pi}{2}\right )-\frac{3^n}{4}\sin \left ( 3x+n\ \frac{\pi}{2}  \right )    $
c) $y=\frac{x-1}{x+1}  \Rightarrow  y^{(n)}= \frac{(-1)^{n+1} 2n!} {(x+1)^{n+1}},  x \neq -1  $

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

a) Lấy dãy số $(x_n)$ với $x_n=n \frac{\pi}{3}  $.
Ta có: $\lim x_n=+\infty  $ và $f(x_n)=2\cos 3 x_n+1= 2\cos (n\pi) +1= \begin{cases}3        \text{khi   $n$    chan} \\ -1     \text{khi   $n$  le}\end{cases} $
Nên dãy $(f(x_n))=(2cos n\pi +1)$ không có giới hạn.
Do đó không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty}f(x)$

b*) Vì $x^2-2x+3=(x-1)^2+2$ nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1}(x^2-2x+3)=2 $
mà $2 \leq  f(x) \leq  x^2-3x+2$ nên theo định lý kẹp, suy ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1}f(x)=2$

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết