hệ thức lượng trong tam giác

  $$2{\sin ^2}A = tanBtanC$$
 $\Leftrightarrow 2.\frac{4S^{2}}{b^2c^2}=\frac{4S}{a^2+b^2-c^2}.\frac{4S}{a^2-b^2+c^2}$
 $\Leftrightarrow 2.b^2c^2=a^4-(b^2-c^2)^2$
 $\Leftrightarrow 2b^2c^2=a^4-b^4-c^4+2b^2c^2$
$\Leftrightarrow a^4=b^4+c^4$

Đó là (đpcm)

Nhận xét :

$1/$ Xét tam giác cân $(AB=AC$) có $$a = \sqrt[4]{2}b$$

Rõ ràng tam giác này tồn tại,vì thỏa mãn mối quan hệ về cạnh trong tam giác

$a < b + c \Leftrightarrow \sqrt[4]{2}b < 2b$

$$\Leftrightarrow \sqrt[4]{2} < 2(*)$$

Dễ thấy $(*)$ đúng.Lớp tam giác nói trên thỏa mãn hệ thức ${a^4} = {b^4} + {c^4}$do $${a^4} = 2{b^4} = {b^4} + {c^4}$$

Điều đó chứng tỏ lớp các tam giác  thảo mãn điều kiện là khác trống

$2/$ Từ $${a^4} = {b^4} + {c^4} \Leftrightarrow 1 = {\left( {\frac{b}{a}} \right)^4} + {\left( {\frac{c}{a}} \right)^4}$$

               $$\Leftrightarrow \frac{b}{a},\frac{c}{a} \in (0,1)$$ .Vậy theo tính chất của hàm mũ,ta có :

             $(\frac{b}{a}^4)<((\frac{b}{a}^2))$
            $\Leftrightarrow (\frac{c}{a}^4)<(\frac{c}{a}^2)$
             $\frac{b^2+c^2}{a^2}>1\Leftrightarrow b^2+c^2>a^2$

Như thế nói riêng các lớp tam giác thỏa mãn điều kiện $${a^4} = {b^4} + {c^4}$$ là lớp con của lớp tam giác nhọn