Xét các phép biến đổi sau
$f(x)=(1-x+x^2-x^3)^6=\left ( (1-x) +x^2(1-x) \right )^6=(1-x)^6.(1+x^2)^6$
Nhắc lại nhị thức Niu-tơn dạng $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n}C_n^ka^kb^{n-k}$,
ta có :
$f(x)=(1-x)^6.(1+x^2)^6=\left (\sum_{i=0}^{6}C_6^i(-1)^ix^i \right )\left (
\sum_{j=0}^{6}C_6^jx^{2j} \right )$
Như vậy sau khi thực hiện khai triển thì số hạng tổng quát của đa thức $f(x)$ sẽ
có dạng $(-1)^iC_6^iC_6^jx^{i+2j}, i,j=0,1,\cdots
6$.
Do đó để tìm $a_9$ thì ta cần tìm hệ số của $x^9$ trong khai triển của $f(x)$.
Tức là cần tìm những số $i, j=0,1,2,3,4,5,6$ sao cho $i+2j=9$. Dễ thấy $j$ chỉ
có thể nhận các giá trị $0,1,2,3,4$ và $0 \le i \le 6$, từ đó ta tìm được các cặp
$i, j$ thỏa mãn là
$(i,j) \in \left\{ {(5,2),(3,3),(1,4))} \right\}$.
Tóm lại, $a_9=(-1)^5C_6^5C_6^2+(-1)^3C_6^3C_6^3+(-1)^1C_6^1C_6^4=\boxed{-580}$.