Bất phương trình có căn thức!

Question

Giải bất phương trình

$8{x^3} + 2x < (x + 2)\sqrt {x + 1}$

Vậy thì tốt quá chứ sao nữa. Đã có trang web hỏi đáp toán cho riêng người Việt. :)
Mình thấy khác nhau ở ngay cái tên web. Học tại nhà mình thấy dễ đọc, dễ nhớ hơn..
Giống về giao diện thôi,chức năng khác nhiều,đặc biệt là tim kiếm ,ví dụ,khi tìm kiếm 1 bài toán,bạn không cần nhập đầy đủ,chỉ cần nhập 1 vài điểm key là ok,đọc hướng dẫn để biết chi tiết :D

score 5 · Answer 1

Bình chọn tăng 5 Bình chọn giảm

ĐIều kiện:

$x\ge -1$ .
Bất phương trình tương đương với:

$(2x)^3+2x<(\sqrt{x+1})^3+\sqrt{x+1} (1)$
Xét hàm:

$f(t)=t^3+t,t\in\mathbb{R}$ .
Ta có:

$f'(t)=3t^2+1>0,\forall t \in \mathbb{R}$ .
Suy ra

$f(t)$ đồng biến trên

$\mathbb{R}$ .
Từ đó:

$(1) \Leftrightarrow 2x<\sqrt{x+1}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x<0\\\left\{ \begin{array}{l} 2x\ge0\\ 4x^2<x+1 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x<0\\ 0\le x<\frac{1}{8}(1+\sqrt{17}) \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow x<\frac{1}{8}(1+\sqrt{17})$
Kết hợp với điều kiện suy ra:

$-1\le x<\frac{1}{8}(1+\sqrt{17})$

Nếu thấy lời giải đúng thì bạn vui lòng đánh dấu vào hình chữ V dưới phần vote để xác nhận nhá. Thanks – khangnguyenthanh 03-10-12 08:16 AM

Xem qua 1 vòng thấy 1 đặc điểm rất khác biệt so với trang khác là các bạn giải bài rất nhanh,gõ công thức rất đẹp. – nguyenphuc423 21-09-12 12:19 AM

score 2 · Answer 2

ĐK:

$x \geqslant - 1$

$\begin{array} PT \Leftrightarrow {(2x)^3} + 2x < (x + 1 + 1)\sqrt {x + 1} \\ \,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {(2x)^3} + 2x < {(\sqrt {x + 1} )^3} + \sqrt {x + 1} \\ \,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow f(2x) < f(\sqrt {x + 1} ),\,\,\,f(t) = {t^3} + t \\ \,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 2x < \sqrt {x + 1} \\ \,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array} x < 0 \\ \left\{ \begin{array} x \geqslant 0 \\ 4{x^2} < x + 1 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array} x < 0 \\ \left\{ \begin{array} x \geqslant 0 \\ 0 < x < \frac{{1 + \sqrt {17} }}{8} \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right. \\ \end{array}$
Vậy bất phương trình có nghiệm