Giải hệ phương trình:

Question

Giải hệ phương trình: $\begin{cases}x^2+x^2y-xy^2+xy-y=1\\x^4+y^2-xy(2x-1)=1\end{cases}$

score 7 · Answer 1

Đề bài như sau thì sẽ đẹp hơn:
$\left\{ \begin{array}{l} x^2+x^3y-xy^2+xy-y=1\\ x^4+y^2-xy(2x-1)=1\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} (x^2-y)+xy+xy(x^2-y)=1\\ (x^2-y)^2+xy=1 \end{array} \right.$
Đặt $u=x^2-y,v=xy$ , hệ trở thành:
$\left\{ \begin{array}{l} u+v+uv=1\\ u^2+v=1 \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} v=1-u^2\\ u+(1-u^2)+u(1-u^2)=1 \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} v=1-u^2\\ u^3+u^2-2u=0 \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} u=0\\ v=1 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} u=1\\ v=0 \end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l} u=-2\\ v=-3 \end{array} \right. \end{array} \right.$
*) Với $\left\{ \begin{array}{l} u=0\\ v=1 \end{array} \right.$ ta được: $(x;y)=(1;1)$
*) Với $\left\{ \begin{array}{l} u=1\\ v=0 \end{array} \right.$ ta được: $(x;y)\in\{(1;0),(-1;0),(0;-1)\}$
*) Với $\left\{ \begin{array}{l} u=-2\\ v=-3 \end{array} \right.$ ta được: $(x;y)=(-1;3)$
Tóm lại : $(x;y)\in\{(1;0),(-1;0),(0;-1),(1;1),(-1;3)\}$

Nếu thấy lời giải đúng thì bạn vui lòng đánh dấu vào hình chữ V dưới phần vote để xác nhận nhá. Thanks

score 6 · Answer 2

Hệ: $\left\{ \begin{array}{l} x^2+x^2y-xy^2+xy-y=1 (1)\\ x^4+y^2-xy(2x-1)=1 (2) \end{array} \right.$
*) Nếu $y=0$ thì $x=\pm 1$ (thỏa mãn)
*) Nếu $y\ne0$ ta có:
$\left\{ \begin{array}{l} x^2+x^2y-xy^2+xy-y=1\\ x^5+xy^2-x^2y(2x-1)=x \end{array} \right.$
Cộng vế với về ta được:
$x^5+x^2-x-1=y(2x^3-2x^2-x+1)$
$\Leftrightarrow (x-1)(x+1)(x^3+x+1)=y(x-1)(2x^2-1)$
+) Với $x=1$ thì $y\in\{0;1\}$
+) Với $x=\frac{1}{\sqrt2}$, vô nghiệm.
+) Với $x=\frac{-1}{\sqrt2}$, vô nghiệm.
+)Với $x\notin\{0,\frac{1}{\sqrt2},\frac{-1}{\sqrt2}\}$ ta có: $y=\frac{(x+1)(x^3+x+1)}{2x^2-1}$
Thay vào $(2)$ ta được:
$x^4+ \frac{(x+1)^2(x^3+x+1)^2}{(2x^2-1)^2} -x. \frac{(x+1)(x^3+x+1)}{2x^2-1} .(2x-1)-1=0$
$\Leftrightarrow \frac{x^8-x^6+x^5+5x^4+11x^3+10x^2+3x}{(2x^2-1)^2}=0$
$\Leftrightarrow \frac{x(x+1)(x^6-x^5+x^3+4x^2+7x+3)}{(2x^2-1)^2}=0$
Từ đó tìm được $x$ (phương trình bậc 6 có 2 nghiệm thực rất xấu).