Bất đẳng thức lượng giác

Question

Chứng minh rằng với

$\forall n\in\mathbb{N}^*$ ta có:

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}|\sin k|\geq \frac{n+1}{2}-\frac{1}{2\sin 1}$

score 4 · Answer 1

Bổ đề: Cho

$(n,a,b)\in \mathbb{N}\times \mathbb{R}\times\mathbb{R}$ . Tính các tổng:

$C_n=\sum_{k=0}^{n} \cos(a+kb),S_n=\sum_{k=0}^{n} \sin(a+kb)$

Chứng minh bổ đề:

Xét

$\displaystyle C_n+iS_n=\sum_{k=0}^n e^{i(a+bk)}=e^{ia}\sum_{k=0}^n (e^{ib})^k$

*) Nếu

$b\in 2\pi \mathbb{Z}$ thì

$C_n=(n+1)\cos a, \, S_n=(n+1)\sin a.$

*) Nếu

$b\notin 2\pi \mathbb{Z}$ thì:

$\displaystyle C_n+iS_n=e^{ia}\frac{(e^{ib})^{n+1}-1}{e^{ib}-1}=e^{ia}\frac{\displaystyle{ e^{i\frac{(n+1)b}{2}}2i\sin \frac{n+1}{2}b}}{e^{i\frac{b}{2}}2i\sin \displaystyle{\frac{b}{2}}}=e^{i(a+\frac{nb}{2})}\frac{\displaystyle{\sin\frac{n+1}{2}b}}{\displaystyle{\sin\frac{b}{2}}}$

Suy ra

$\displaystyle C_n=\cos(a+\frac{nb}{2})\frac{\displaystyle{\sin\frac{n+1}{2}b}}{\displaystyle{\sin\frac{b}{2}}},\,S_n=\sin(a+\frac{nb}{2})\frac{\displaystyle{\sin\frac{n+1}{2}b}}{\displaystyle{\sin\frac{b}{2}}}$

Quay lại bài toán, ta có:

Vì

$\sin0=0$ và

$|\sin k|\leq 1$ nên: