TXĐ: $\mathbb{R}\backslash\{-1\}$.
Ta có 2 đương tiệm cận của đồ thị hàm số là: $(d_1):x=-1$, $(d_2):y=2$.
Giao điểm của 2 đương tiệm cận là: $I(-1;2)$
Giả sử tiếp tuyến $(d)$ cần tìm là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại $M(a,\frac{2a-1}{a+1}) (a\ne-1)$.
Ta có: $y'=\frac{3}{(x+1)^2}$ .
Phương trình $(d)$ là: $y=\frac{3}{(a+1)^2}(x-a)+\frac{2a-1}{a+1} \Leftrightarrow 3x-(a+1)^2y+(2a^2-2a-1)=0$
$(d)$ cắt $(d_1)$ tại $A(-1,\frac{2(a-2)}{a+1})$
$(d)$ cắt $(d_2)$ tại $B(2a+1,2)$
Ta có: $IA=\left|\frac{2(a-2)}{a+1}-2\right|=\left|\frac{6}{a+1}\right|$
$IB=|2a+1-(-1)|=2|a+1|$
Vì $\triangle IAB$ vuông tại $I$ nên:
$IA+IB+AB=IA+IB+\sqrt{IA^2+IB^2}$
$\ge2\sqrt{IA.IB}+\sqrt{2.IA.IB}=2\sqrt6+\sqrt{12}=\sqrt3(2+2\sqrt2)$
Vậy Min$(IA+IB+AB)=\sqrt3(2+2\sqrt2) \Leftrightarrow IA=IB \Leftrightarrow a=-1\pm2\sqrt3$
Từ đó suy ra có 2 tiếp tuyến thỏa mãn: $x-4y-7\pm4\sqrt3=0$