Ta biến đổi:
$(1+i\sqrt{3})z+2 =x+yi (x, y\in R)$
$\Leftrightarrow (1+i \sqrt{3})z=x-2+yi \Leftrightarrow z=\frac{x-2+yi}{1+i \sqrt{3} } $
Khi đó:
$|z-1|=|\frac{x-2+yi}{1+i \sqrt{3} }-1 |=|\frac{x-3+i(y-\sqrt{3}) }{1+i \sqrt{3} } |$
$=|\frac{[x-3+i(y+\sqrt{3})](1-i \sqrt{3}) }{4} |= |\frac{x+y \sqrt{3}+i(y-x \sqrt{3}+4 \sqrt{3} ) }{4} |$
$|z-1| \leq 2 \Leftrightarrow |x+y \sqrt{3}+i(y-x \sqrt{3}+4 \sqrt{3} ) |\leq 8$
$\Leftrightarrow \sqrt{(x+y \sqrt{3} )^2+(y-x \sqrt{3}+4 \sqrt{3})^2 }\leq 8 $
$\Leftrightarrow x^2+3y^2+2xy \sqrt{3}+y^2+3x^2+48-2xy+8y \sqrt{3}-24x \leq 64 $
$\Leftrightarrow x^2+y^2-6x+2y \sqrt{3} +12 \leq 16 $
$\Leftrightarrow (x-3)^2 + (y- \sqrt{3} )^2 \leq 16$
Vậy tập hợp điểm M thuộc hình tròn tâm $I(3; \sqrt{3})$ bán kính $R=4$