Tập hợp biểu diễn các số phức

Question

Xác định tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức biểu diễn các số phức

$\left( {1 + i\sqrt 3 } \right)z + 2$ trong đó

$\left| {z - 1} \right| \le 2$ .

score 5 · Answer 1

Ta biến đổi:

$(1+i\sqrt{3})z+2 =x+yi (x, y\in R)$

$\Leftrightarrow (1+i \sqrt{3})z=x-2+yi \Leftrightarrow z=\frac{x-2+yi}{1+i \sqrt{3} }$

Khi đó:

$|z-1|=|\frac{x-2+yi}{1+i \sqrt{3} }-1 |=|\frac{x-3+i(y-\sqrt{3}) }{1+i \sqrt{3} } |$

$=|\frac{[x-3+i(y+\sqrt{3})](1-i \sqrt{3}) }{4} |= |\frac{x+y \sqrt{3}+i(y-x \sqrt{3}+4 \sqrt{3} ) }{4} |$

$|z-1| \leq 2 \Leftrightarrow |x+y \sqrt{3}+i(y-x \sqrt{3}+4 \sqrt{3} ) |\leq 8$

$\Leftrightarrow \sqrt{(x+y \sqrt{3} )^2+(y-x \sqrt{3}+4 \sqrt{3})^2 }\leq 8$

$\Leftrightarrow x^2+3y^2+2xy \sqrt{3}+y^2+3x^2+48-2xy+8y \sqrt{3}-24x \leq 64$

$\Leftrightarrow x^2+y^2-6x+2y \sqrt{3} +12 \leq 16$

$\Leftrightarrow (x-3)^2 + (y- \sqrt{3} )^2 \leq 16$

Vậy tập hợp điểm M thuộc hình tròn tâm

$I(3; \sqrt{3})$ bán kính

$R=4$

1 Đáp án