|
|
Hàm số có CĐ, CT $ \Leftrightarrow f'(x) = 4{x^2} - 4(1 - \sin a)x + (1 + c{\rm{os}}2a) = 0 $ có 2 nghiệm phân biệt
$ \Leftrightarrow \Delta ' = 4{(1 - \sin a)^2} - 4(1 + c{\rm{os}}2a) > 0 $
$ \begin{array}{l}
\Leftrightarrow 3{\sin ^2}a - 2\sin a - 1 > 0\\
\Leftrightarrow -1\leq \sin a < - \frac{1}{3}(*)
\end{array} $
Với đk (*) thì f’(x) có 2 nghiệm phân biệt $ {x_1},{x_2} $ , và hàm đạt cực trị tại $ {x_1},{x_2} $ .
Theo định lí Viet ta có: $ {x_1} + {x_2} = 1 - \sin a ; {x_1}.{x_2} = \frac{{1 + c{\rm{os}}2a}}{4} $
Giả thiết: $ x_1^2 + x_2^2 = 1 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}.{x_2} = 1 $
$ \begin{array}{l}
\Leftrightarrow {(1 - \sin a)^2} - \frac{{1 + c{\rm{os}}2a}}{2} = 1\\
\Leftrightarrow 2{\sin ^2}a - 2\sin a - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin a = \frac{{1 - \sqrt 3 }}{2}\\
\sin a = \frac{{1 + \sqrt 3 }}{2}
\end{array} \right.
\end{array} $
So sánh với (*) ta suy ra $ \sin a = \frac{{1 - \sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = \arcsin \frac{{1 - \sqrt 3 }}{2} + k2\pi \\
a = \pi - \arcsin \frac{{1 - \sqrt 3 }}{2} + k2\pi
\end{array} \right.,k \in Z $
|