Nhân biểu thức dưới dấu căn như sau: $n(n+6)=n^2+6n, (n+2)(n+6)=n^2+6n+8$ rồi đặt biểu thức $n^2+6n=k$.
Ta được biểu thức dưới dấu căn là $k^2+8k$, và do:
$k^2+6k+9<k^2+8k<k^2+8k+16$
Nên $\lfloor\sqrt{k^2+8k}\rfloor=k+3$, vì thế $a_n=n^2+6n+3=(n+3)^2-6$
Vậy $a_n$ chia hết cho 7 khi và chỉ khi $(n+3)^2 $ chia cho 7 dư 6.
Nhưng bình phương của 1 số tự nhiên khi chia cho 7 chỉ cho số du là $0;1;4$ và $2$.
Do đó $a_n$ không chia hết cho 7 với mọi $n$