bài này làm tn ạ?

Question

Cho hình thang $ABCD$ với $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$. Qua $O$ vẽ đường thẳng song song với đáy hình thang, đường thẳng này cắt các cạnh $AD$ và $BC$ theo thứ tự tại $M$ và $N$. Chứng minh: $\overrightarrow{MN}=\frac{b.\overrightarrow{AB}+a.\overrightarrow{DC} }{a+b}$, với $AB=a, CD=b$.

score 5 · Answer 1

Do $MN//AB//CD$ nên: $\frac{MA}{MD}=\frac{NB}{NC}=\frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}=\frac{AB}{DC}=\frac{a}{b}$

Do đó $\overrightarrow{MA}=-\frac{a}{b} \overrightarrow{MD}$

$\overrightarrow{NB}=-\frac{a}{b} \overrightarrow{NC}$, nên:

$\overrightarrow{OM}=\frac{\displaystyle\overrightarrow{OA}+\frac{a}{b} \overrightarrow{OD}}{ \displaystyle 1+\frac{a}{b} }, \overrightarrow{ON}=\frac{ \displaystyle \overrightarrow{OB}+\frac{a}{b} \overrightarrow{OC} }{ \displaystyle 1+\frac{a}{b} }$

Vậy: $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}=\frac{ \displaystyle \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}+\frac{a}{b} (\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD})}{ \displaystyle 1+\frac{a}{b} }=\frac{ \displaystyle \overrightarrow{AB}+\frac{a}{b}\overrightarrow{DC} }{ \displaystyle 1+\frac{a}{b} }=\frac{b \overrightarrow{AB}+a \overrightarrow{DC} }{a+b}$