Cho em hỏi bài tích phân này nữa

Question

Đặt $ I_n = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4} } \tan ^n xdx,   (2 \leq n \in N)$. Chứng minh rằng :
a) $I_n > I_{n+1}$
b) $ \frac{1}{n+2} < I_n + I_{n+2} < \frac{1}{n}$
c) $ \frac{1}{2(n+1)} < I_n < \frac{1}{2(n-1)}$

Ôi em không nghĩ là các anh giải cho em sớm thế,hic.Các a online cả ngày phải ko ạ?

score 4 · Answer 1

b)
$\forall x \in (0;\frac{\pi}{4})$,ta có : $0<\tan x<1$
$\Rightarrow \tan^{n+2} x<\tan^n x<\tan^{n-2} x$
$\Rightarrow \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4} }\tan^{n+2} xdx<\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4} }\tan^n xdx <\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4} }\tan^{n-2} xdx$ (theo bất đẳng thức tích phân)
$\Rightarrow I_{n+2}<I_n<I_{n-2}$
Xét riêng :$I_n<I_{n-2}$ (Cộng hai vế $I_n$)
$\Rightarrow 2I_n=I_n+I_n<I_n+I_{n-2}=\frac{1}{n-1} \Rightarrow I_n<\frac{1}{2n-2} (1)$
Tương tự : $I_n>I_{n+2}$ (Cộng hai vế $I_n$)
$\Rightarrow 2I_n=I_n+I_n>I_n+I_{n+2}=\frac{1}{n+1} \Rightarrow I_n>\frac{1}{2n+2} (2)$
Từ $(1),(2) \Rightarrow \frac{1}{2n+2}<I_n<\frac{1}{2n-2},\forall n\ge2$

score 4 · Answer 2

b)
Xét: $I_{n+2}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4} }\tan^{n+2} xdx=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4} }\tan^{n} x\tan^2 xdx$
$=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4} }\tan^{n}x(\frac{1}{\cos^2 x} -1)dx$
$=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4} }\tan^{n} xd(\tan x)-\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4} }\tan^{n} xdx$
$=\frac{1}{n+1}\tan^{n+1}x \left|\begin{array}{l}\frac{\pi}{4} \\0\end{array} \right.-I_{n}=\frac{1}{n+1}-I_{n} $
$\Rightarrow I_n+I_{n+2}=\frac{1}{n+1}, \forall n\ge 2$
Từ đó, suy ra: $ \frac{1}{n+2} < I_n + I_{n+2} < \frac{1}{n} , \forall n\ge 2 $

score 4 · Answer 3

Bình chọn tăng 4 Bình chọn giảm

a)
Ta có:
$\forall x\in(0,\frac{\pi}{4})\Rightarrow 0<\tan x< 1$
$\Rightarrow \tan^nx>\tan^{n+1}x, \forall x\in(0,\frac{\pi}{4}) $
$\Rightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi}{4}}\tan^nxdx>\int\limits_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^{n+1}x dx$
Hay: $I_n> I_{n+1}$