tìm nguyên hàm giúp mình

Question

Chứng minh rằng hàm số $F(x)=\ln \frac{x^2-x \sqrt{2}+1 }{x^2+x \sqrt{2} +1}$ là một nguyên hàm của hàm số: $f(x)=\frac{2 \sqrt{2}(x^2-1) }{x^4+1} $ trên R

score 5 · Answer 1

Bình chọn tăng 5 Bình chọn giảm

Ta có:
$\int f(x)dx=\int\frac{2\sqrt2(x^2-1)}{x^4+1}dx$
$=\int\frac{(x^2+\sqrt2x+1)(2x-\sqrt2)-(x^2-\sqrt2x+1)(2x+\sqrt2)}{(x^2+\sqrt2x+1)(x^2-\sqrt2x+1)}dx$
$=\int\frac{2x-\sqrt2}{x^2-\sqrt2x+1}dx-\int \frac{2x+\sqrt2}{x^2+\sqrt2x+1}dx $
$=\int\frac{d(x^2-\sqrt2x+1)}{x^2-\sqrt2x+1}- \int\frac{d(x^2+\sqrt2x+1)}{x^2+\sqrt2x+1} $
$=\ln(x^2-\sqrt2x+1)-\ln(x^2+\sqrt2x+1)+C$
$=\ln\frac{x^2-\sqrt2x+1}{x^2+\sqrt2x+1}+C$, đpcm.