Giải PT

Question

Giải các phương trình :
a) $ x - \cos x - \frac{\pi}{4} + \frac{\sqrt{2} }{2} = 0 $
b) $ x\sqrt{x^2+1} = \ln (x + \sqrt{x^2+1})$

score 4 · Answer 1

Bình chọn tăng 4 Bình chọn giảm

b)
Xét hàm: $f(x)=x\sqrt{x^2+1}-\ln(x+\sqrt{x^2+1}),x\in\mathbb{R}$
Ta có:
$f'(x)=\sqrt{x^2+1}+\frac{2x^2}{2\sqrt{x^2+1}}-\frac{\displaystyle1+\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}}$
$=\sqrt{x^2+1}+\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}-\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$
$=\frac{2x^2}{\sqrt{x^2+1}}\ge0,\forall x\in\mathbb{R}$ .
Suy ra $f(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ .
Dẫn tới $f(x)=0$ có nhiều nhất 1 nghiệm.
Mà $f(0)=0$.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=0$.

score 4 · Answer 2

Bình chọn tăng 4 Bình chọn giảm

a)
Xét hàm: $f(x)=x-\cos x-\frac{\pi}{4}+\frac{\sqrt2}{2}$
Ta có: $f'(x)=1+\sin x\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$
Suy ra $f(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ .
Dẫn tới $f(x)=0$ có nhiều nhất 1 nghiệm.
Mà $f(\frac{\pi}{4})=0$.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=\frac{\pi}{4}$.