|
|
Ta có: $k(C^k_n)^2=C^k_n.\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}=nC^k_nC^{n-k}_{n-1}$
Xét $(1+x)^{2n-1}=(1+x)^n(1+x)^{n-1}$
$\Leftrightarrow \sum_{k=0}^{2n-1}C^k_{2n-1}x^k=\left(\sum_{k=0}^nC^k_nx^k\right)\left(\sum_{k=0}^{n-1}C^k_{n-1}x^k\right)$
Xét hệ số của $x^n$ ở 2 vế ta có:
$C_{2n-1}^{n}=\sum_{k=1}^nC_n^kC_{n-1}^{n-k}$
$\Rightarrow n \sum_{k=1}^nC_n^kC_{n-1}^{n-k} =nC_{2n-1}^n=nC_{2n-1}^{n-1}$
|