Tích phân

Question

Đặt $I_n=\int\limits x^ne^xdx (n\in N*)$
1. Chứng minh rằng $I_n=x^ne^x-nI_{n-1}$
2. Tìm $I_1; I_2; I_3$

score 2 · Answer 1

2. Ta lần lượt có:
+) Với $n=1$ thì:
       $I_1=x.e^x-I_o=xe^x-\int\limits e^xdx=xe^x-e^x+C$
+) Với $n=2$ thì:
       $I_2=x^2e^x-2I_1=x^2e^x-2(xe^x-e^x)+C=x^2e^x-2xe^x+2e^x+C$
+) Với $n=3$ thì:
       $I_3=x^3e^x-3I_2=x^3e^x-3(x^2e^x-2xe^x+2e^x)+C$
           $= x^3e^x-3x^2e^x+6xe^x-6e^x+C$

score 2 · Answer 2

Bình chọn tăng 2 Bình chọn giảm

1. Đặt
$\begin{cases}u=x^n \\ dv=e^xdx \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}du=n x^{n-1} \\ v=e^x \end{cases} $
Khi đó:
$I_n=x^ne^x-n \int\limits x^{n-1}e^xdx=x^ne^x-nI_{n-1} $