|
|
Ta sẽ chứng minh bài toán trong trường hợp ΔABC nhọn. Các trường hợp khác chứng minh hoàn toàn tương tự.
Bổ đề: Với điểm M nằm trong ΔABC ta kí hiệu Sa=SMBC,Sb=SMCA,Sc=SMAB. Khi đó:
Sa.→MA+Sb.→MB+Sc.→MC=→0.
Chứng minh:
Vì M nằm trong ΔABC nên Sa,Sb,Sc>0.
Qua A dựng các đường thẳng song song với BM và CM, cắt CM và BM tương ứng tại P và Q.
Ta có: SbSa→MB=SMCASMBC→MB=ATBT→MB=APBM→MB=→AP.
Tương tự: ScSa→MC=→AQ.
Từ đó suy ra đpcm.
Trở lại bài toán:
Kí hiệu S=SABC. Từ bổ đề trên ta có: SaS→HA+SbS→HB+ScS→HC=→0.
Ta có: SaS=HDBD.BDAD=cot^BHD.cot^ABD=cotC.cotB=1tanBtanC.
Tương tự: SbS=1tanCtanA,ScS=1tanAtanB.
Từ đó suy ra đpcm.
|