|
Ta sẽ chứng minh bài toán trong trường hợp ΔABC nhọn. Các trường hợp khác chứng minh hoàn toàn tương tự. Bổ đề: Với điểm M nằm trong ΔABC ta kí hiệu Sa=SMBC,Sb=SMCA,Sc=SMAB. Khi đó: Sa.→MA+Sb.→MB+Sc.→MC=→0.
 Chứng minh: Vì M nằm trong ΔABC nên Sa,Sb,Sc>0. Qua A dựng các đường thẳng song song với BM và CM, cắt CM và BM tương ứng tại P và Q. Ta có: SbSa→MB=SMCASMBC→MB=ATBT→MB=APBM→MB=→AP. Tương tự: ScSa→MC=→AQ. Từ đó suy ra đpcm. Trở lại bài toán:
 Kí hiệu S=SABC. Từ bổ đề trên ta có: SaS→HA+SbS→HB+ScS→HC=→0. Ta có: SaS=HDBD.BDAD=cot^BHD.cot^ABD=cotC.cotB=1tanBtanC. Tương tự: SbS=1tanCtanA,ScS=1tanAtanB. Từ đó suy ra đpcm.
|