có nbaif này em thắc mắc, thấy khó quá

Question

Cho

$a,b,c>0$ và

$n$ là số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 2 .CMR:

$\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}+\sqrt[n]{c}\le \sqrt[n]{\frac{a+b}{2}}+\sqrt[n]{\frac{b+c}{2}}+\sqrt[n]{\frac{c+a}{2}}$

score 3 · Answer 1

Ta chứng minh BĐT:

$\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}\leq 2\sqrt[n]{\frac{a+b}{2}},\forall a,b\geq0$ .
Để cho gọn, ta đặt

$\sqrt[n]{a}=x,\sqrt[n]{b}=y,\sqrt[n]{\frac{a+b}{2}}=t$ và giả sử

$a\leq b$ thì

$x\leq t\leq y$ .
BĐT trên tương đương với:

$y-t\leq t-x (1)$ .
Nếu

$a=b$ thì

$(1)$ hiển nhiên đúng.
Nếu

$a<b$ thì

$(1)$ tương đương với:

$\frac{y^n-t^n}{y^{n-1}+y^{n-2}t+...+t^{n-1}}\leq \frac{t^n-x^n}{t^{n-1}+t^{n-2}x+...+x^{n-1}}$
Dễ thấy BĐt trên đúng vì

$y^n-t^n=t^n-x^n\geq 0$ và

$y>t>x$ .
Vậy

$\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}\leq 2\sqrt[n]{\frac{a+b}{2}},\forall a,b\geq0$ .
Thiết lập 2 BĐt tương t ta có đpcm.

bó tay vs bài này – conheodat297 31-10-12 09:39 PM

đáp án nhanh thế, em nghiên cứu tí, cảm ơn bạn nhé – huyen0208 25-10-12 11:25 PM

1 Đáp án