|
|
Kí hiệu $S_n$ là số các số tự nhiên có $n$ chữ số mà tổng các chữ số là lẻ, $T_n$ là số các số tự nhiên có $n$ chữ số mà tổng các chữ số là chẵn.
Dễ thấy $S_1=5$ và $T_1=4$.
Giả sử $A$ là số tự nhiên có $n+1$ chữ số mà tổng các chữ số là lẻ và $a$ là chữ số hàng đơn vị của $A$. Gọi số $B$ là số tự nhiên có $n$ chữ số có được bằng cách bỏ đi chữ số $a$ của $A$.
Nếu $a\in \{1,3,5,7,9\}$ thì $B$ có tổng các chữ số là chẵn. Số các số $B$ như vậy là $T_n$, tương ứng với $5T_n$ số $A$.
Nếu $a\in \{0,2,4,6,8\}$thì $B$ có tổng các chữ số là lẻ. Số các số $B$ như vậy là $S_n$, tương ứng với $5S_n$ số $A$.
Do đó: $S_{n+1}=5(S_n+T_n).$
Tương tự ta cũng có $T_{n+1}=5(S_n+T_n)$. Từ đó suy ra $S_{n+1}=T_{n+1}$ mà $S_{n+1}+T_{n+1}=9.10^n$ nên $S_{n+1}=\frac{9.10^n}{2}$.
Vậy số các số có 7 cữ số mà tổng các chữ số của nó là lẻ là $\frac{9.10^6}{2}$.
|