|
|
Ta có $BI$ vuông góc với $SC$ và $BK$ vuông góc với $SC$ (vì $BK$ vuông góc với $AC$ là hình chiếu của $SC$ trên $(ABC)$). Do đó $(BIK)$ vuông góc với $SC$ suy ra $IK$ vuông góc với $SC$.
Tương tự $IK$ vuông góc với $SB$ nên $IK$ vuông góc với $(SBC)$.
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ thì $S,I,M$ thẳng hàng.
Ta có: $AM=\frac{a\sqrt{3}}{2},MK=\frac{AM}{3}=\frac{a\sqrt{3}}{6},SM=\sqrt{AM^2+SA^2}=\frac{\sqrt{4x^2+3a^2}}{2}$,
$IM=\frac{MK.AM}{SM}=\frac{a^2}{2\sqrt{4x^2+3a^2}},SI=SM-IM=\frac{2x^2+a^2}{\sqrt{4x^2+3a^2}}$
$\Delta SIQ\sim \Delta SAM$ suy ra $QI=\frac{SI.AM}{SA}=\frac{a(2x^2+a^2)\sqrt{3}}{2x\sqrt{4x^2+3a^2}}$.
$V_{SQBC}=\frac{QI.SM.BC}{6}=\frac{a^2\sqrt{3}}{24}\left( 2x+\frac{a^2}{x}\right) \geq \frac{a^3\sqrt{6}}{12}$.
Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $x=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
|