hình không gian

Question

cho ABC đều cạnh a. đt d đi qua A vuông góc với (ABC). trên d lấy S với AS=x>0. gọi I, K là trực tâm của

$\triangle SBC ,\triangle ABC$ .đường thẳng IK cắt d tại Q. tìm x để thể tích hình chóp SQBC nhỏ nhất

score 2 · Answer 1

Ta có

$BI$ vuông góc với

$SC$ và

$BK$ vuông góc với

$SC$ (vì

$BK$ vuông góc với

$AC$ là hình chiếu của

$SC$ trên

$(ABC)$ ). Do đó

$(BIK)$ vuông góc với

$SC$ suy ra

$IK$ vuông góc với

$SC$ .
Tương tự

$IK$ vuông góc với

$SB$ nên

$IK$ vuông góc với

$(SBC)$ .
Gọi

$M$ là trung điểm của

$BC$ thì

$S,I,M$ thẳng hàng.
Ta có:

$AM=\frac{a\sqrt{3}}{2},MK=\frac{AM}{3}=\frac{a\sqrt{3}}{6},SM=\sqrt{AM^2+SA^2}=\frac{\sqrt{4x^2+3a^2}}{2}$ ,

$IM=\frac{MK.AM}{SM}=\frac{a^2}{2\sqrt{4x^2+3a^2}},SI=SM-IM=\frac{2x^2+a^2}{\sqrt{4x^2+3a^2}}$

$\Delta SIQ\sim \Delta SAM$ suy ra

$QI=\frac{SI.AM}{SA}=\frac{a(2x^2+a^2)\sqrt{3}}{2x\sqrt{4x^2+3a^2}}$ .

$V_{SQBC}=\frac{QI.SM.BC}{6}=\frac{a^2\sqrt{3}}{24}\left( 2x+\frac{a^2}{x}\right) \geq \frac{a^3\sqrt{6}}{12}$ .
Dấu

$=$ xảy ra khi và chỉ khi

$x=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ .

1 Đáp án