Ta sẽ chứng minh rằng $M \ge 30.$ Và suy ra $30$ là GTNN của nó.
Và bài toán này tương đương với bài toán sau :
$\textbf{Bài toán}$
Cho $3$ số dương $x, y, z$ và $x+y+z=1$
Chứng minh : $\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{xyz} \geq 30$
$\textbf{Chứng minh}$
Sử dụng bđt Cô-si ta có
$(xy + yz + xz)(x + y + z) \ge 9xyz\Leftrightarrow \frac{1}{xyz} \geq \frac{9}{(xy + yz + xz)(x + y + z)}$
Ta sẽ chứng minh
\[\frac{1}{x^2 + y^2 + z^2} + \frac{9}{xy + yz + xz} \geq 30\]
Đặt $x^2 + y^2 + z^2 = u$; và $xy + yz + xz = v$ ; ta có $u + 2v = 1, u \ge v.$
Ta có
$
\frac{1}{u} + \frac{9}{v}
= \frac{9u + v}{uv}
= \frac{(9u + v)(u + 2v)}{uv}
= \frac {9u^2 + 19uv + 2v^2}{uv}
= \frac {(u-v)(9u-2v)+30uv}{uv}
\ge \frac {30uv}{uv}
= 30
$, đpcm.
Đẳng thức xảy ra $x=y=z=\frac{1}{3}.$