mọi người giải lại jup mình, up rùi mà k thấy ai giải

Question

Giải

$x,y$ tự nhiên biết:

$x^{2010}+x^{2009}+....+x+2=y^5.$

2 bài này em huyen0208 đăng rồi nhưng k thấy giải, nên đăng lại. Kiến nghị các ad giải chi tiết k nên ẩn bài

score 4 · Answer 1

Phương trình tương đương với:

$\dfrac{x^{2011}-1}{x-1}=y^5-1$
Gọi

$p$ là ước nguyên tố của

$\dfrac{x^{2011}-1}{x-1}$
TH 1:

$p|x-1$ thì

$x^{2010}+...+x+1 \equiv 2011 \pmod{p}$
Suy ra:

$p=2011$
TH2:

$p\nmid x-1$ thì

$p|x^{2011}-1$ .
Vì

$2011\in\mathscr{P}$ nên ord

$_px=2011$ mà ta có:

$p|x^{p-1}-1\Rightarrow 2011|p-1$
hay

$p \equiv 1 \pmod{2011}$
Suy ra tất cả các ước nguyên tố của

$\dfrac{x^{2011}-1}{x-1}$ đều có dạng

$2011$ hoặc

$2011k+1$
M

$\dfrac{x^{2011}-1}{x-1}=(y-1)(y^4+y^3+y^2+y+1)$
Suy ra tất cả các ước nguyên tố của

$y-1$ và

$y^4+y^3+y^2+y+1$ đều có dạng

$2011$ hoặc

$2011k+1$
Nếu

$2011|y-1$ thì

$y^4+y^3+...+y+1 \equiv 5 \pmod{2011}$ , suy ra

$y^4+y^3+...+y+1$ không thể có tất cả các ước nguyên tố đều có dạng

$2011$ hoặc

$2011k+1$ .
Nếu

$2011\nmid y-1$ thì tất cả các ước nguyên tố của

$y-1$ đều có dạng

$2011k+1$
Suy ra

$y-1 \equiv 1 \pmod{2011} \Rightarrow y \equiv 2 \pmod{11}\Rightarrow y^4+y^3+...+y+1 \equiv 31 \pmod{2011}$ , suy ra

$y^4+y^3+...+y+1$ không thể có tất cả các ước nguyên tố đều có dạng

$2011$ hoặc

$2011k+1$ .
Vậy phương trình vô nghiệm.

1 Đáp án