up mấy bài cùng làm nhé

Question

Cho tập X gồm n số nguyên dương, mỗi số có ước nguyên tố không vượt quá 23. Chứng minh rằng tồn tại 4 số phân biệt cho X có tích là luỹ thừa bậc z của 1 số nguyên a) Giải bài toán trên với n=2002, ,z=4 b) giải với n=2002,z=8 c) Đề xuất bài toán tổng quát = cách đưa ra quan hệ n và z.

score 5 · Answer 1

Bình chọn tăng 5 Bình chọn giảm

b)
Đề sai.
Vì ta có thể xét các số có dạng sau: $\prod_{i=1}^9p_i^{\alpha_i}$, với $\alpha_i\in\{0,1,2\}$
Có $3^9=19683$ số phân biệt có dạng này.
Dễ thấy tích của 4 số bất kì đều không thể là lũy thừa bậc 8 của một số nguyên dương.

lịch sử

score 5 · Answer 2

a)
Gọi $p_i$ là số nguyên tố thứ $i$.
Có 9 số nguyên tố không vượt quá 23.
Suy ra với mỗi $x\in X$ thì ta có: $x=\prod_{i=1}^9p_i^{\alpha_i}$.
Gỉa sử: $\nu_p(n)=1$ nếu số mũ của số nguyên tố $p$ trong khai triển của $n$ là lẻ.
$\nu_p(n)=0$ nếu số mũ của số nguyên tố $p$ trong khai triển của $n$ là chẵn.
Với mỗi $x\in X$ ta xét xâu: $S(x)=\left(\nu_{p_1}(x),\nu_{p_2}(x),\ldots,\nu_{p_9}(x)\right)$.
Ta thấy sẽ có: $2^9=512$ khả năng có thể có của xâu $S(x)$.
Trong 513 số bất kỳ của tập $X$ sẽ tồn tại 2 số $a_1,b_1$ sao cho: $S(a_1)=S(b_1)$.
Trong 513 số bất kỳ của tập $X\backslash\{a_1,b_1\}$ sẽ tồn tại 2 số $a_2,b_2$ sao cho: $S(a_2)=S(b_2)$.
Trong 513 số bất kỳ của tập $X\backslash\{a_1,b_1,a_2,b_2\}$ sẽ tồn tại 2 số $a_3,b_3$ sao cho: $S(a_3)=S(b_3)$.
....
Bằng cách tương tự ta sẽ chọn được 745 cặp $(a_i,b_i)$ sao cho $S(a_i)=S(b_i),i=\overline{1,745}$.
Ta có: $S(a_i)=S(b_i)\Rightarrow a_ib_i=c_i^2$.
Xét 745 số $c_i$ tồn tại 2 số $c_i,c_j$ sao cho: $S(c_i)=S(c_j)\Rightarrow c_ic_j=d^2$.
Từ đó suy ra: $a_ib_ia_jb_j=(c_ic_j)^2=d^4$, đpcm.