Quay lại đáp án

b)Đề sai.Vì ta có thể xét các số có dạng sau: $\prod_{i=1}^9p_i^{\alpha_i}$, với $\alpha_i\in\{0,1,2\}$Có $3^9=19683$ số phân biệt có dạng này.Dễ thấy tích của 4 số bất kì đều không thể là lũy thừa bậc 8 của một số nguyên dương.

a)Gọi $p_i$ là số nguyên tố thứ $i$.Có 9 số nguyên tố không vượt quá 23.Suy ra với mỗi $x\in X$ thì ta có: $x=\prod_{i=1}^9p_i^{\alpha_i}$.Gỉa sử: $\nu_p(n)=1$ nếu số mũ của số nguyên tố $p$ trong khai triển của $n$ là lẻ. $\nu_p(n)=0$ nếu số mũ của số nguyên tố $p$ trong khai triển của $n$ là chẵn.Với mỗi $x\in X$ ta xét xâu: $S(x)=\left(\nu_{p_1}(x),\nu_{p_2}(x),\ldots,\nu_{p_9}(x)\right)$.Ta thấy sẽ có: $2^9=512$ khả năng có thể có của xâu $S(x)$.Trong 513 số bất kỳ của tập $X$ sẽ tồn tại 2 số $a_1,b_1$ sao cho: $S(a_1)=S(b_1)$.Trong 513 số bất kỳ của tập $X\backslash\{a_1,b_1\}$ sẽ tồn tại 2 số $a_2,b_2$ sao cho: $S(a_2)=S(b_2)$.Trong 513 số bất kỳ của tập $X\backslash\{a_1,b_1,a_2,b_2\}$ sẽ tồn tại 2 số $a_3,b_3$ sao cho: $S(a_3)=S(b_3)$.....Bằng cách tương tự ta sẽ chọn được 745 cặp $(a_i,b_i)$ sao cho $S(a_i)=S(b_i),i=\overline{1,745}$.Ta có: $S(a_i)=S(b_i)\Rightarrow a_ib_i=c_i^2$.Xét 745 số $c_i$ tồn tại 2 số $c_i,c_j$ sao cho: $S(c_i)=S(c_j)\Rightarrow c_ic_j=d^2$.Từ đó suy ra: $a_ib_ia_jb_j=(c_ic_j)^2=d^4$, đpcm.