khai triển nhị thức niuton

Question

cho khai triển

$\left ( x+\frac{1}{x} \right )^{23}$ . CMR tổng các hệ số của các lũy thừa bậc nguyên dương của x là số chính phương

score 5 · Answer 1

Ta có:

$(x+\frac{1}{x})^{23}=\sum_{k=0}^{23}C_{23}^kx^{23-k}(\frac{1}{x})^k$
Vậy

$x$ có lũy thừa bậc nguyên dương khi:

$23-k>k\Leftrightarrow k\le11$
Suy ra tổng các hệ số của các lũy thừa bậc nguyên dương của

$x$ là:

$\sum_{k=0}^{11}C_{23}^k$
Ta cÓ:

$(x+1)^{23}=\sum_{k=0}^{23} C_{23}^kx^k$
Thay

$x=1$ suy ra:

$\sum_{k=0}^{23} C_{23}^k=2^{23}$ .
Mà:

$C_{23}^k=C_{23}^{23-k}\Rightarrow \sum_{k=0}^{11}C_{23}^k=\frac{\sum_{k=0}^{23} C_{23}^k}{2}=2^{22}$ , đpcm.

1 Đáp án