|
|
Bất đẳng thức Svac là $(a_1^2+a_2^2+....+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+...b_n^2)\geq (a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)^2$
Với $n=2$ thì điều này đúng,
vì $(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2 )\geq(a_1b_1+a_2b_2)^2$ tương đương với
$(a_1b_2-b_1a_2)^2\geq 0$
Giả sử điều phải chứng minh đúng cho $k-1$ số , với $k$ số, ta làm như sau:
áp dụng trường hợp cho 2 số (đã chứng minh ở trên)
$(a_1^2+a_2^2+....+a_k^2)(b_1^2+b_2^2+...b_k^2)=(a_1^2+\sqrt{a_2^2+....+a_k^2}^2)(b_1^2+\sqrt{b_2^2+...b_k^2}^2) $
$\geq (a_1b_1+\sqrt{a_2^2+....+a_k^2}\sqrt{b_2^2+...b_k^2})^2$ (1)
Theo giả thuyết quy nạp, bất đẳng thức đúng cho $k-1$ số nên
$\sqrt{a_2^2+....+a_k^2}\sqrt{b_2^2+...b_k^2}\geq a_2b_2+...+a_kb_k$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra bất đẳng thức đúng với $k$ số
Vậy suy ra ĐPCM
|