Bạn Nguyễn Linh ở fb hỏi

Question

$K^k>(k+1)^{k-1}, k$ thuộc N và

$k\geq 2$

score 2 · Answer 1

BĐT cần chứng minh tương đương với:

$k>\left( 1+\frac{1}{k}\right)^{k-1}$
Nếu

$k=2$ thì BĐT đúng.
Nếu

$k>2$ thì

$\left( 1+\frac{1}{k}\right)^{k-1}<\left( 1+\frac{1}{k}\right)^k$
Theo khai triển nhị thức Newton:

$\left( 1+\frac{1}{k}\right)^k=1+k.\frac{1}{k}+\sum_{i=2}^k{\frac{C_k^i}{k^i}}$ .
Ta có

$\frac{C_k^i}{k^i}=\frac{k!}{i!(k-i)!k^i}<\frac{1}{i!}<\frac{1}{i(i-1)}=\frac{1}{i-1}-\frac{1}{i}$ .
Do đó

$\sum_{i=2}^k{\frac{C_k^i}{k^i}}<\sum_{i=1}^{k-1}{\left( \frac{1}{i}-\frac{1}{i+1}\right)}=1-\frac{1}{k}<1$ .
Từ đó suy ra

$\left( 1+\frac{1}{k}\right)^k<3\leq k$ . BĐT được chứng minh

chuẩn luôn! – congiola_ktqd 07-12-12 08:42 PM

1 Đáp án