jup mình bài này nhé

Question

Trên đoạn

$[0,1]$ phương trình

$8x(1-2x^2)(8x^4-8x^2+1)=1$ có bao nhiêu nghiệm

score 7 · Answer 1

Với

$x\in[0;1]$ , đặt

$x=\cos t;t\in[0;\frac{\pi}{2}]$
Dễ thấy

$x=1$ không là nghiệm, suy ra:

$t\ne0\Rightarrow \sin t\ne0$
Phương trình trở thành:

$8\cos t(1-2\cos^2t)(8\cos^4t-8\cos^2t+1)=1$

$\Leftrightarrow 8\cos t\cos2t\cos4t=-1$

$\Leftrightarrow 8\sin t\cos t\cos2t\cos4t=-\sin t$

$\Leftrightarrow \sin8t=\sin(-t)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 8t=-t+k2\pi\\8t=\pi+t+k2\pi \end{array} \right.,k\in\mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t=\frac{k2\pi}{9}\\t=\frac{(2k+1)\pi}{7} \end{array} \right.$
Mà:

$t\in(0;\frac{\pi}{2}]\Rightarrow t\in\{\frac{2\pi}{9};\frac{4\pi}{9};\frac{\pi}{7};\frac{3\pi}{7}\}$
Vậy phương trình có 4 nghiệm thuộc

$[0;1]$ .

1 Đáp án