|
|
Với $n\leq 3$
Bạn có thể kiểm tra trực tiếp
Ta xét với $n\geq 4$
Trước hết ta có:
$C_n^0+C_n^1 +C_n^2+C_n^3+...+ C_n^n=2^n$ nên
$C_n^1 +C_n^2+C_n^3+...+ C_n^n<2^n$
Áp dụng : $(x+1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$.
Với x = 1,2,3,....n, ta có:
$2^3 = 1^3 + 3.1^2 + 3.1 + 1$
$3^3 = 2^3 + 3.2^2 + 3.2 + 1$
$4^3 = 3^3 + 3.3^2 + 3.3 + 1$
........
$(n+1)^3 = n^3 + 3.n^2 + 3.n + 1$
Cộng từng vế rồi rút gọn ta được:
$(n+1)^3 = 1^3 + 3(1^2 + 2^2 + ...+ n^2) + 3.(1+2+3+...+n) + n$
<--> $(n+1)^3 = n + 1 + 3(1^2 + 2^2 + ...+ n^2) + 3.n.(n+1)/2$
<--> $3(1^2 + 2^2 + ...+ n^2) = (n+1)^3 - 3.n.(n+1)/2 - n - 1$
<--> $3(1^2 + 2^2 + ...+ n^2) = n(n+1)(2n+1)/2$
<--> $(1^2 + 2^2 + ...+ n^2) = n(n+1)(2n+1)/6$
Vậy $(1^2 + 2^2 + ...+ n^2) = n(n+1)(2n+1)/6$
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopki:
$1.\sqrt{C_n^1} +2\sqrt{C_n^2}+3\sqrt{C_n^3}+...+n\sqrt{ C_n^n}\leq \sqrt{(1^2 + 2^2 + ...+ n^2)(C_n^1 +C_n^2+C_n^3+...+ C_n^n)}$
$<\sqrt{2^n.n(n+1)(2n+1)/6}=\sqrt{2^{n-1}.n.(n+1)(2n+1)/3}$
Đối chiếu với đề bài, ta chỉ cần chứng minh $(n+1)(2n+1)/3<n^2$ điều này tương đương với $3n+1<n^2$
Với $n>3$ thì điều này đúng.
Ta đã chứng minh xong bài toán.
|