|
|
Với n≤3
Bạn có thể kiểm tra trực tiếp
Ta xét với n≥4
Trước hết ta có:
C0n+C1n+C2n+C3n+...+Cnn=2n nên
C1n+C2n+C3n+...+Cnn<2n
Áp dụng : (x+1)3=x3+3x2+3x+1.
Với x = 1,2,3,....n, ta có:
23=13+3.12+3.1+1
33=23+3.22+3.2+1
43=33+3.32+3.3+1
........
(n+1)3=n3+3.n2+3.n+1
Cộng từng vế rồi rút gọn ta được:
(n+1)3=13+3(12+22+...+n2)+3.(1+2+3+...+n)+n
<--> (n+1)3=n+1+3(12+22+...+n2)+3.n.(n+1)/2
<--> 3(12+22+...+n2)=(n+1)3−3.n.(n+1)/2−n−1
<--> 3(12+22+...+n2)=n(n+1)(2n+1)/2
<--> (12+22+...+n2)=n(n+1)(2n+1)/6
Vậy (12+22+...+n2)=n(n+1)(2n+1)/6
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopki:
1.√C1n+2√C2n+3√C3n+...+n√Cnn≤√(12+22+...+n2)(C1n+C2n+C3n+...+Cnn)
<√2n.n(n+1)(2n+1)/6=√2n−1.n.(n+1)(2n+1)/3
Đối chiếu với đề bài, ta chỉ cần chứng minh (n+1)(2n+1)/3<n2 điều này tương đương với 3n+1<n2
Với n>3 thì điều này đúng.
Ta đã chứng minh xong bài toán.
|