|
|
Trước hết ta chứng minh khẳng định sau:
Với $a,b>0,x>1$ ta có $\frac{a^x+b^x}{2}\geq \left( \frac{a+b}{2}\right)^x$.
Thật vậy, KMTTQ, giả sử $a\leq b$ và đặt $\frac{a+b}{2}=c$ thì $a\leq c\leq b$.
Hàm số $f(t)=t^x$ thỏa mãn đk của định lý Lagrange trên $[a,c]$ và $[c,b]$ nên ta có:
$\frac{f(c)-f(a)}{c-a}=f'(u)$ và $\frac{f(b)-f(c)}{b-c}=f'(v)$ với $a\leq u\leq c\leq v\leq b$.
Mà $f''(t)=x(x-1)t^{x-2}>0$ nên $f'(t)$ đồng biến. Ta có $f'(u)\leq f'(v)$.
Chú ý rằng $c-a=b-c$ ta được $(c)-f(a)\leq f(b)-f(c)$, đpcm.
Trở lại bài toán, với $a,b,c,d>0,x>1$ ta có:
$f(a)+f(b)\geq 2f\left( \frac{a+b}{2}\right),f(c)+f(d)\geq 2f\left( \frac{c+d}{2}\right)$.
Cộng 2 BĐT trên vế theo vế ta được:
$f(a)+f(b)+f(c)+f(d)\geq 2\left[ f\left( \frac{a+b}{2}\right) +f\left( \frac{c+d}{2}\right) \right]$
Lại có: $f\left( \frac{a+b}{2}\right) +f\left( \frac{c+d}{2}\right)\geq 2f\left( \frac{a+b+c+d}{2}\right)$.
Như vậy $f(a)+f(b)+f(c)+f(d)\geq 4f\left( \frac{a+b+c+d}{2}\right)$.
Chọn $d=\frac{a+b+c}{3}$ ta được đpcm.
|