Bài toán ba điểm thẳng hàng.

Question

Vẽ ba tia thẳng chung gốc $O:\,Od,\,Oe,\,Of$. Trên $Od$ lấy 2 điểm $A,\,B$; trên $Oe$ lấy hai điểm $C,\,D$; trên $Of$ lấy hai điểm $E,\,F$; $AC$ cắt $BD$ ở $T$, $CE$ cắt $DF$ ở $R$ và $EA$ cắt $FB$ ở $U.$ Chứng minh rằng: $T,\,R,\,U$ thẳng hàng.

Bài này của em nằm trong hình học phẳng đúng không? Anh cần thêm thông tin về thứ tự các điểm trên các tia Od,Oe,Of. Ví dụ như đề bài thì thứ tự là O,A,B ; O,C,D ; O,E,F đúng không?

score 1 · Answer 1

Áp dụng định lý Menelaus:
Với $\Delta OBD$ và cát tuyến $CTA$: $\frac{\overline{TD}}{\overline{TB}}=\frac{\overline{CD}}{\overline{CO}}.\frac{\overline{AO}}{\overline{AB}}.$
Với $\Delta ODF$ và cát tuyến $CRE$: $\frac{\overline{RF}}{\overline{RD}}=\frac{\overline{CO}}{\overline{CD}}.\frac{\overline{EF}}{\overline{EO}}.$
Với $\Delta OBF$ và cát tuyến $UEA$: $\frac{\overline{UB}}{\overline{UF}}=\frac{\overline{AB}}{\overline{AO}}.\frac{\overline{EO}}{\overline{EF}}.$
Nhân 3 đẳng thức trên vế theo vế ta được:
$\frac{\overline{TD}}{\overline{TB}}.\frac{\overline{RF}}{\overline{RD}}.\frac{\overline{UB}}{\overline{UF}}=1.$
Vậy $T,R,U$ thẳng hàng.