tính khoảng cách

Question

Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB cạnh a nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Gọi E, F là trung điểm của AB, AD. Tính khoảng cách tứ E đến mặt phẳng (SCF).d(E, (SCF))

score 3 · Answer 1

Cách 2: Gắn hình vẽ vào tọa độ không gian (theo chương trình lớp 12)

Gọi N là trung điểm của CD
Vì (SAB) và (ABCD) nằm trong 2 mp vuông góc với nhau => trung tuyến SE trong tam giác đều SAB sẽ vuông góc với mp(ABCD)
Gắn hình vẽ vào tọa độ không gian sao cho E trùng với gốc tọa độ, EN trùng với Ox, EB trùng với Oy, ES trùng với Oz
Khoảng cách tù E đến mp(SCF) chính là d(E, (SCD))
Khi đó tọa độ các điểm là: E(0,0,0), S($0,0, \frac{a\sqrt{3}}{2}$) , C(a, a, 0), D(a/2, -a/2,0)
=> phương trình mp(SCD) => d(E, (SCD)) = $\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$a3√7√

score 3 · Answer 2

Cách 1: Tính trực tiếp (theo chương trình lớp 11)

Vì (SAB) và (ABCD) nằm trong 2 mp vuông góc với nhau => trung tuyến SE trong tam giác đều SAB sẽ vuông góc với mp(ABCD)
Ta gọi G là trung điểm của CD, trong mp(SEG) kẻ EH vuông góc với SG ($H\in SG$) (1)
Có: CD vuông góc với EG; CD vuông góc với SE => CD vuông góc với mp(SEG) => CD vuông góc vứoi EH (2)
(1)(2)=> EH vuông góc với (SCD) hay nói cách khác EH vuông góc với mp(SCF)
=> d(E, (SCF))= EH
Có: EH là đường cao trong $\Delta$SEG vuông tại E => $\frac{1}{EH^{2}}=\frac{1}{ES^{2}}+\frac{1}{EG^{2}}$
=> $\frac{1}{EH^{2}}=\frac{1}{(\frac{a\sqrt{3}}{2})^{2}}+\frac{1}{a^{2}}$
=> EH= $\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$