dãy số

Question

cho dãy số $(u_{n}$) xác định bởi $\begin{cases}u_{1}=1 \\ u_{n}=-\frac{3}{2}u^{2}_{n-1}+\frac{5}{2}u_{n-1}+1\end{cases}$ với $n\geq2$
a, tính $u_{4}$
b, CMR: $u_{n+3} =u_{n}$ với $\forall n\in N^{*}$
c, Tính tổng 12 số hạng đầu tiên của dãy số.

score 3 · Answer 1

Bình chọn tăng 3 Bình chọn giảm

c.
Vì $u_{n+3}=u_n,\forall n\in\mathbb{N}^*$
nên ta có:
$\sum_{i=1}^{12}u_i=4(u_1+u_2+u_3)=12$

score 3 · Answer 2

Bình chọn tăng 3 Bình chọn giảm

b. Ta sẽ chứng minh bắng quy nạp theo $n$ là: $u_{n+3}=u_n,\forall n\in\mathbb{N}^*$
Với $n=1$, ta có: $u_4=u_1=1$
Giả sử mệnh đề đúng với $n=k,k\in\mathbb{N^*}$ hay $u_{k+3}=u_k$
Ta sẽ chứng minh mệnh đề đúng với $n=k+1$ hay: $u_{k+4}=u_{k+1}$
Thật vậy, ta có:
$u_{k+4}=-\frac{3}{2}u_{k+3}^2+\frac{5}{2}u_{k+3}+1$
$=-\frac{3}{2}u_k^2+\frac{5}{2}u_k+1$
$=u_{k+1}$
Vậy theo quy nạp ta có: $u_{n+3}=u_n,\forall n\in\mathbb{N}^*$

score 3 · Answer 3

Bình chọn tăng 3 Bình chọn giảm

a.
Bằng tính toán ta có:
$u_2=-\frac{3}{2}u_1^2+\frac{5}{2}u_1+1=2$
$u_3=-\frac{3}{2}u_2^2+\frac{5}{2}u_2+1=0$
$u_4=-\frac{3}{2}u_3^2+\frac{5}{2}u_3+1=1$