Ở bài tập này cần trang bị một số kiến thức sau :
+ Công thức Euler :
http://toan.hoctainha.vn/Thu-Vien/Bai-Tap/111071/bai-111071
Để suy ra R≥2r, trong đó R,r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại, nội tiếp.
+ Công thức liên quan đến diện tích, ba cạnh, bán kính đường tròn ngoại, nội tiếp.
abc=4RS.
+ Công thức liên quan đến diện tích,nửa chu vi p, bán kính đường tròn nội tiếp.
S=pr.
Bây giờ ta có
2p=a+b+c≥33√abc=33√4RS=33√4Rpr≥33√8pr2
⇒8p3≥27.8pr2⇒r≤p3√3=3√3
Vậy chu vi đường tròn ngoại tiếp lớn nhất bằng 2πr=6π√3⇔ tam giác đó là tam giác đều.