câu 1

* Đường tròn (C) có tâm I(1;-2) và bán kính R = 3.

* $M \in (\Delta ):x - y + 1 = 0 \Rightarrow M(m;m + 1)$

* Dễ thấy tứ giác MAIB nội tiếp đường tròn (C’) đường kính MI.

Gọi K là trung điểm MI, ta có: $K(\frac{{m + 1}}{2};\frac{{m - 1}}{2})$

$\overrightarrow {IM}  = (m - 1,m + 3) \Rightarrow R' = \frac{{IM}}{2} = \frac{{\sqrt {2{m^2} + 4m + 10} }}{2}$

Suy ra phương trình đường tròn (C’):

${(x - \frac{{m + 1}}{2})^2} + {(y - \frac{{m - 1}}{2})^2} = \frac{{{m^2} + 2m + 5}}{2}$

$\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - (m + 1)x - (m - 1)y - m - 2 = 0$

* Khi đó, AB là trục đẳng phương của hai đường tròn (C) và (C’).

Suy ra phương trình đường thẳng AB: $( - m + 1)x + ( - m - 3)y - m + 2 = 0$

* Ta có:

$d(N,AB) = \frac{{\left| {\frac{1}{2}( - m + 1) + ( - m - 3) - m + 2} \right|}}{{\sqrt {{{( - m + 1)}^2} + {{( - m - 3)}^2}} }}$

$\Leftrightarrow d(N,AB) = \frac{{\left| { - \frac{{5m}}{2} - \frac{1}{2}} \right|}}{{\sqrt {{{(m - 1)}^2} + {{(m + 3)}^2}} }} = \frac{1}{2}\frac{{\left| {5m + 1} \right|}}{{\sqrt {{{(m - 1)}^2} + {{(m + 3)}^2}} }}$

* Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:

$\left| {5m + 1} \right| = \left| {\frac{7}{2}(m - 1) + \frac{3}{2}(m + 3)} \right| \le \sqrt {{{\left( {\frac{7}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2}} \sqrt {{{(m - 1)}^2} + {{(m + 3)}^2}}$

$\Leftrightarrow \frac{{\left| {5m + 1} \right|}}{{\sqrt {{{(m - 1)}^2} + {{(m + 3)}^2}} }} \le \frac{{\sqrt {58} }}{2}$

$\Leftrightarrow d(N,AB) \le \frac{{\sqrt {58} }}{4}$

Vậy  $Maxd(N,AB) = \frac{{\sqrt {58} }}{4} \Leftrightarrow \frac{{m - 1}}{{\frac{7}{2}}} = \frac{{m + 3}}{{\frac{3}{2}}} \Leftrightarrow m =  - 6 \Leftrightarrow M( - 6; - 5)$