[Toán 12]

Question

Cho hàm số:

$y = \frac{2x +1}{x-1}$ có đồ thị

$(C)$
Chứng minh đường thẳng

$d_{m}: y = 2x + m$ luôn cắt

$(C)$ tại 2 điểm phân biệt A và B. Tìm

$m$ để

$S_{\Delta OAB} = \frac{5}{4}$

score 3 · Answer 1

* Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và ${d_m}$ :

$\frac{{2x + 1}}{{x - 1}} = 2x + m$ $(x \ne 1)$

$\Leftrightarrow f(x) = 2{x^2} + (m - 4)x - m - 1 = 0$

Do

$\begin{cases}\Delta = {m^2} + 24 > 0\forall m \in R \\ f(1) = - 3 \ne 0 \end{cases}$ nên

$f(x) = 0$ luôn có hai nghiệm phân biệt

${x_1},{x_2} \ne 1$

${d_m}$ tại hai điểm phân biệt $A({x_1},2{x_1} + m),B({x_2},2{x_2} + m)$ .

* $\overrightarrow {AB} = ({x_2} - {x_1},2{x_2} - 2{x_1})$

$AB = \sqrt {5{{({x_2} - {x_1})}^2}} = \sqrt {5({S^2} - 4P)} = \frac{{\sqrt {5({m^2} + 24)} }}{2}$

$d(O,AB) = d(O,d) = \frac{{\left| m \right|}}{{\sqrt 5 }}$

* Khi đó:

${S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2}AB.d(O,AB) = \frac{1}{2}\frac{{\sqrt {5({m^2} + 24)} }}{2}\frac{{\left| m \right|}}{{\sqrt 5 }} = \frac{5}{4}$

$\Leftrightarrow \left| m \right|\sqrt {{m^2} + 24} = 5$

$\Leftrightarrow {m^4} + 24{m^2} - 25 = 0$

$\Leftrightarrow m = \pm 1$

1 Đáp án